Bac S Nouvelle Calédonie 2015 - Analyse
Fonction avec un paramètre et une exponentielle
Exercice corrigé bac S, Nouvelle Calédonie 2015 - Analyse: étude de fonctions avec un paramètre et exponentielle
Le plan est rapporté à un repère orthogonal
![$\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/1.png)
Soit
![$a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/2.png)
On note
![$\Delta_a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/3.png)
![$y = ax](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/4.png)
![$\Gamma](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/5.png)
![$\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/6.png)
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de
![$\Gamma](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/7.png)
![$\Delta_a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/8.png)
![$a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/9.png)
Pour cela. on considère la fonction
![$f_a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/10.png)
![$x](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/11.png)
![f_a(x) = \text{e}^x - ax.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/12.png)
On admet pour tout réel
![$a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/13.png)
![$f_a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/14.png)
![$\R](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex115-NC/15.png)
- Étude du cas particulier
La fonction
est donc définie pour tout
réel par
.
- Étudier les variations de la fonction
sur
et dresser son tableau de variations sur
(on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
- En déduire que
et
n'ont pas de point d'intersection.
- Étudier les variations de la fonction
- Étude du cas général où
est un réel strictement positif
- Déterminer les limites de la fonction
en
et en
.
- Étudier les variations de la fonction
sur
. Montrer alors que le minimum sur
de la fonction
est
.
- Étudier le signe de
suivant les valeurs du nombre réel strictement positif
.
- Déterminer selon les valeurs du réel
le nombre de points communs à
et
.
- Déterminer les limites de la fonction
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