Exercice corrigé bac STI2D / STL - Métropole juin 2016 - Fonction logarithme

Logarithme et décibels



Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole juin 2016 - Fonction logarithme: intensité acoustique et décibels

Exercice - énoncé:

Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m$^2$), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).
Document
Échelle de bruit



$${|*{4}{c|}}\hline \raisebox{.6cm}[1.8cm]{Sources sonores} &\raisebox{.6cm}[1.8cm]{Intensit\'e acoustique (W/m$^2$)} & \raisebox{.6cm}[1.8cm]{\begin{minipage}{2.5cm}Niveau sonore (dB) arrondi \'eventuellement \`a l'unit\'e\end{minipage}} &\raisebox{.6cm}[1.8cm]{Sensation auditive} \\\hline D\'ecollage de la Fus\'ee Ariane&$10^ 6$ &180 &\multirow{3}{2.5cm}{Exige une protection sp\'eciale} \\\cline{1-3} Turbor\'eacteur &$10^2$ &140 & \\\cline{1-3} Course de Formule 1 &10 &130 & \\\hline Avion au d\'ecollage &1 &120 &Seuil de douleur \\\hline Concert et discoth\`eque &$10^{-1}$ &110 &\multirow{3}{3.4cm}{Tr\`es difficilement supportable} \\\cline{1-3} \raisebox{.4cm}[.3cm]{\begin{minipage}{4cm}Baladeur \`a puissance maximum\end{minipage}} & \raisebox{.3cm}[1.1cm]{$10^{-2}$} &100 & \\\hline Moto &$10^{-5}$ &70 &P\'enible \`a entendre \\\hline Voiture au ralenti&$10^{-7}$ & 50 &Bruit courant\\ \hline Seuil d'audibilit\'e &$10^{-12}$ &0,08 &Silence anormal \\\hline $$


  1. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
  2. La relation liant l'intensité acoustique $x$ où $x$ appartient à l'intervalle $\lb10^ {-12} ; 10^6\rb$ et le niveau sonore est donnée par :
    \[f(x) =\dfrac{10}{\ln 10}\tm\ln(x) + 120.\]

    On pourra prendre $\dfrac{10}{\ln 10} \approx 4,34$.
    1. Vérifier la conjecture émise à la question 1.
    2. Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
  3. Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de $85$ dB. Déterminer l'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé.

Correction exercice


  1. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, le niveau sonore semble augmenter de 10 dB.
    1. Si une intensité sonore $x$ est multipliée par $10$, alors le niveau sonore est
      \[\begin{array}{ll} f(10x)&=\dfrac{10}{\ln10}\ln(10x)+120\\[.8em] &=\dfrac{10}{\ln10}\lp\ln(10)+\ln(x)\rp+120\\[.8em] &=\underbrace{\dfrac{10}{\ln10}\ln(10)}+ \underbrace{\dfrac{10}{\ln10}\ln(x)+120}\\[.8em] &=\qquad10\qquad+\qquad f(x) \enar\]

      Ainsi, le niveau sonore est bien augmenté de 10.
    2. L'intensité acoustique pour une moto est $x=10^{-5}$, donc pour deux motos de $2x=2\tm10^{-5}$.
      Le niveau sonore correspondant est alors $f\lp2\tm10^{-5}\rp=\dfrac{10}{\ln 10}\tm\ln\lp2\tm10^{-5}\rp + 120 \simeq73\text{ dB}$
  3. L'intensité acoustique à partir de laquelle un tel casque est conseillé est telle que $f(x)=85$, soit
    \[\begin{array}{ll} \dfrac{10}{\ln 10}\tm\ln(x) + 120=85 &\iff \ln(x)=\dfrac{(85-120)\tm\ln10}{10}\\[.8em] &\iff x=e^{-3,5\tm\ln10}\simeq 3\tm10^{-4}\text{ W/m}^2 \enar\]



Cacher la correction


Voir aussi:
ccc