Exercice corrigé - Etude d'une fonction avec paramètres
Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire
Première générale et scientifique
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé - Etudes de fonctions, à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires
Exercice - énoncé:
- On appelle
la fonction définie sur
par l'expression
.
- Etudier les variations de
, et dresser son tableau de variation.
- Montrer que l'équation
a une unique solution
sur
et que
.
Donner un encadrement ded'amplitude
.
- Déterminer le signe de
sur
.
- Etudier les variations de
- On appelle
la fonction définie sur
par
.
- Calculer la dérivée
de
et montrer que
pour tout
de
.
- En déduire les variations de
.
- Montrer que
.
En déduire un encadrement de.
- Calculer la dérivée
Correction exercice
- On appelle
la fonction définie sur
par l'expression
.
-
, et donc,
- La fonction
est dérivable sur
, strictement croissante, et telle que
et
.
On en déduit, d'après le théorème de la bijection, que l'équationadmet une unique solution sur
.
De plus, sur, le maximum de
est
, et donc l'équation
n'a pas de solution.
De même, sur, la fonction est croissante et a pour minimum
, et l'équation
n'y admet pas non plus de solution.
En résumé, l'équationadmet une unique solution sur
, et cette solution appartient à l'intervalle
.
De plus, on calcule queet
, d'où l'encadrement
- On en déduit le signe de
sur
:
-
- On appelle
la fonction définie sur
par
.
- On a
, avec
,
, et
,
, d'où,
- On déduit de la question 1.c) le tableau de variation:
- On a, par définition du nombre
,
On en déduit que
On a vu de plus queet alors,
- d'une part
- et d'autre part
et alors
et on trouve donc finalement l'encadrement
- d'une part
- On a
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