Exercice corrigé - Etude d'une fonction avec paramètres
Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire
Première générale et scientifique
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé - Etudes de fonctions, à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires
Exercice - énoncé:
- On appelle la fonction définie sur par l'expression
.
- Etudier les variations de , et dresser son tableau de
variation.
- Montrer que l'équation a une unique solution sur et que .
Donner un encadrement de d'amplitude .
- Déterminer le signe de sur .
- Etudier les variations de , et dresser son tableau de
variation.
- On appelle la fonction définie sur par
.
- Calculer la dérivée de et montrer que
pour tout de .
- En déduire les variations de .
- Montrer que .
En déduire un encadrement de .
- Calculer la dérivée de et montrer que
pour tout de .
Correction exercice
- On appelle la fonction définie sur par l'expression
.
- , et donc,
- La fonction est dérivable sur ,
strictement croissante, et telle que et .
On en déduit, d'après le théorème de la bijection, que l'équation admet une unique solution sur .
De plus, sur , le maximum de est , et donc l'équation n'a pas de solution.
De même, sur , la fonction est croissante et a pour minimum , et l'équation n'y admet pas non plus de solution.
En résumé, l'équation admet une unique solution sur , et cette solution appartient à l'intervalle .
De plus, on calcule que et , d'où l'encadrement
- On en déduit le signe de sur :
- , et donc,
- On appelle la fonction définie sur par
.
- On a , avec
, , et
, , d'où,
- On déduit de la question 1.c) le tableau de variation:
- On a, par définition du nombre ,
On en déduit que
On a vu de plus que et alors,- d'une part
- et d'autre part et alors
et on trouve donc finalement l'encadrement
- On a , avec
, , et
, , d'où,
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Voir aussi: