Étude de la position relative de deux courbes
Étudier la position relative de deux courbes
et
,
c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus
de l'autre.
![$\mathcal{C}_f$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/1.png)
![$\mathcal{C}_g$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/2.png)
Par exemple pour des fonctions
![$f$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/3.png)
![$g$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/4.png)
![$[-5;5]$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/5.png)
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-5.5,-4.2)(5.6,4)\psline{->}(-5.3,0)(5.5,0)\psline{->}(0,-4.2)(0,4)
\multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.4){$\i$}}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.6pt](-5,-4)(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2)
\rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$}
\pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3)
\rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$}
\psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3)
\psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3)
\psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3)
\rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/6-m.png)
on a ici,
-
est au-dessous de
sur
et sur
-
est au-dessus de
sur
et sur
Pour étudier algébriquement ce problème, on pose
![$d(x)=f(x)-g(x)$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/15.png)
Algébriquement, on a alors
Ainsi, en résumé,
Pour étudier la position relative des deux courbes
et
, rprésentatives des fonctions
et
,
on étudie le signe de la différence
.
![$\mathcal{C}_f$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/18.png)
![$\mathcal{C}_g$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/19.png)
![$f$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/20.png)
![$g$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/21.png)
![$d(x)=f(x)-g(x)$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/22.png)
Exercice
Soit
et
Soit
![$f(x)=3x^2-2x-2$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/23.png)
![$g(x)=6x-2$](Position-relative-de-deux-courbes-IMG/24.png)
- Représenter graphiquement les courbes
et
et étudier graphiquement leur position relative.
- Étudier exactement, algébriquement, leur position relative.
Voir aussi, deux autres exercices: