Exercice corrigé - Position relative de deux courbes

Étude de signe


Première générale et scientifique


Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé: Etude de la position relative de deux courbes représentatives de fonctions

Exercice - énoncé:

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Correction exercice


$f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2) =\dfrac{x^2-2x+1}{x} =\dfrac{(x-1)^2}{x}$.
On dresse alors le tableau de signe de cette différence:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $0$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline $(x-1)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline $x$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $f(x)-g(x)$ && $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline \end{tabular} \]

et on a donc les positions relatives:
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty;0[$
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$
  • $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse 1.


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Voir aussi:
ccc