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Description
Cours de mathématiques 1ère STI2D - Dérivation des fonctions
Niveau
Première STI2D
Table des matières
  • Rappels sur les fonctions
    • Courbe représentative d'une fonction
    • Fonctions affines et droites
  • Nombre dérivé en a d'une fonction
  • Fonction dérivée
  • Application de la dérivation
    • Équation de la tangente
    • Sens de variation d'une fonction
    • Extrema d'une fonction
    • Résolution d'équations et valeurs intermédiaires
  • Exercices
    Mots clé
    dérivation, dérivée, fonction, étude de fonction, calcul de dérivées, tangente et équation de la tangente, sens de variation, théorème des valeurs intermédiaires, maths, première, 1ère, STI2D
    Voir aussi:

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    lien vers la documentation Latex
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    Source Latex du cours de mathématiques

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        pdfauthor={Yoann Morel},
        pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: Dérivation des fonctions},
        pdftitle={Dérivation des fonctions},
        pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D, 
          dérivée, dérivation des fonctions}
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    \voffset=-1cm
    % Raccourcis diverses:
    \newcommand{\nwc}{\newcommand}
    \nwc{\dsp}{\displaystyle}
    \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
    \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
    \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
    \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
    
    \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
    \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
    \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
    
    \nwc{\ul}{\underline}
    \nwc{\tm}{\times}
    \nwc{\V}{\overrightarrow}
    \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
    \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
    \newcommand{\ct}{\centerline}
    
    \nwc{\bgsk}{\bigskip}
    \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
    \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
    \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
    \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
    
    \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
    \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
    \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
    \def\C{{\rm C\kern-4.7pt
    \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
    \def\Q{\mathbb{Q}}
    \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
    \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
    
    \newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
    \newenvironment{EX}{%
    \stepcounter{nex}
    \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
    }{}
    \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
    
    \newlength{\ldef}
    \nwc{\bgdef}[1]{
      \settowidth{\ldef}{Définition \ }
      \noindent
      \paragraph{Définition}
      \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
      \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp
    }
    \newlength{\ltheo}
    \nwc{\bgth}[1]{
      \settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
      \noindent
      \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
      \hspace{-0.5em}
      \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp
    }
    
    \newlength{\lprop}
    \nwc{\bgprop}[1]{
      \settowidth{\lprop}{Propriété}
      \noindent
      \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
      \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
      \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
    }
    
    
    \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
    \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
    \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
    \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
    	\protect\vspace*{\fill}}
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    \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
    \lhead{}\chead{}\rhead{}
    \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
    \cfoot{}
    \rfoot{Dérivation des fonctions - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{document}
    
    \vspace*{-0.5cm}
    
    
    \hfill{\LARGE \bf Dérivation des fonctions}
    \hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
    \vspace{0.4cm}
    
    \vspace{-0.3cm}
    
    \section{Rappel sur les fonctions}
    
    \subsection{Courbe représentative d'une fonction}
    
    La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
    $M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. 
    
    \bgmp{9.2cm}
    \psset{unit=3cm,arrowsize=8pt}
    \begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
      \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
      \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
      \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
      \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
      \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
      \rput(1.7,-0.1){$x$}
      \rput[r](-0.1,0.75){$y=f(x)$}
      \rput[l](1.8,0.75){$M(x;y)$}
    \end{pspicture}
    \enmp
    \bgmp{8cm}
    \[M(x;y) \in \mathcal{C}_f \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
    \]
    \enmp
    
    \vspd\noindent
    \ul{Exemple:} Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$. 
    
    Un point $M(x;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y=f(x)$, 
    c'est-à-dire si $y=f(x)=2x-1$. 
    
    $\mathcal{C}_f$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$. 
    
    %\vspd\noindent
    \bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
    $f(x)=2x^2-3x+2$. 
    
    Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 
    
    $A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ 
    $C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$  \ ;\ 
    $E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .
    
    \vsp
    Placer ces points dans un repère et tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
    \enex
    
    \subsection{Fonctions affines et droites}
    
    Une fonction affine est définie sur $\R$ 
    par une expression qui peut s'écrire sous la forme 
    $f(x)=mx+p$. 
    
    Sa courbe représentative est la droite d'équation $y=mx+p$. 
    
    \bgex
    Tracer les droites 
    $D_1: y=2x+1$, $D_2: y=-x+1$ et $D_3:y=2x+3$. 
    
    Tracer la courbe représentative des fonctions 
    définies par les expressions 
    $f(x)=x^2$, 
    $g(x)=-2x^2+4x+1$, 
    $h(x)=2x-1$. 
    \enex
    
    \bgprop{Soit la fonction affine $f(x)=mx+p$ 
    et sa droite représentative d'équation $y=mx+p$: 
    \bgit
    \item $p$ est l'ordonnée à l'origine (lorsque $x=0$)
    \item $m$ est le coefficient directeur, ou la pente: \\
      Si la droite passe par $A\lp x_A;y_A\rp$ 
      et $B\lp x_N;y_B\rp$ 
      alors \\
      \bgmp{4cm}
      \[\bgar{ll}m&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\[1em]
      &=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\enar\]
      \enmp\qquad
      \bgmp{8cm}
      \psset{xunit=.8cm,yunit=.7cm,,arrowsize=8pt}
      \begin{pspicture}(-3,-2)(5.2,5)
        \psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(5,0)
        \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2)(0,5)
        \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x .8 mul 1 add}
        \psline{->}(2,2.6)(4,2.6)
        \psline{->}(4,2.6)(4,4.2)
        \rput(3,2.1){$\Delta x$}\rput[l](4.3,3.1){$\Delta y$}
        \rput[r](-.15,1.25){$p$}
        \rput(-1,-.6){-$\frac{p}{m}$}
      \end{pspicture}
      \enmp
    
      Deux droites sont parallèles si et seulement si 
      elles ont le m\^eme coefficient directeur
    \enit
    }
    
    \bgex
    Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par 
    $A(1;2)$ et $B(5;10)$. 
    \enex
    
    \noindent
    \bgmp{6cm}
    \bgex 
    
    Déterminer l'équation des droites. 
    \enex
    \enmp
    \bgmp{10cm}
      \psset{unit=.8cm,,arrowsize=8pt}
      \begin{pspicture*}(-5.6,-5.6)(5.6,5.6)
        \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.4,0)(5.6,0)
        \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5.4)(0,5.6)
        \multido{\i=-5+1}{11}{
          \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,5.2)
          \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](-5.2,\i)(5.2,\i)
          \rput(\i,-.2){$\i$}
          \rput[r](-.1,\i){$\i$}}
        \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x}
        \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x 2 add}
        \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{-2 x mul 1 add}
        \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{3}
        \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{.25 x mul -3 add}
      \end{pspicture*}
    \enmp
    
    \bgex
    Soit $f(x)=x^2-2x$. 
    Soit $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1, 
    et $B$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 3.  
    
    Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par $A$ et $B$. 
    Tracer $\mathcal{C}_f$ et $D$. 
    \enex
    
    
    
    \section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction}
    
    \noindent
    \bgmp{9.cm}
    \bgex
    Soit $f$ la fonction carré 
    et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 
    
    On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses
    respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. 
    
    \bgen
    \item Tracer sur une figure $\mathcal{C}_f$ et placer les points $A$, 
      $M_1$, $M_2$, $M_3$. 
    \item Calculer les coefficients directeurs des droites 
      $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. 
    
    \item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
      $1+h$. 
    
      Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
      $(AM)$.  
    
    \item Compléter le tableau: 
    
      \[\hspace*{-1cm}
      \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
        $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
        $m_h$ &&&&&& \\\hline
      \end{tabular}
      \]
    
    \item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
    \enen
    \enex
    \enmp\hspace{0.3cm}
    \bgmp{9cm}
    \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm}
    \begin{pspicture}(-1.,-6.5)(4,20)
      \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
      \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
      \multido{\i=0+1}{5}{
        \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
        \rput(\i,-0.5){$\i$}
      }
      \multido{\i=-4+2}{12}{
        \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
        \rput(-0.3,\i){$\i$}
      }
      \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.8}{x 2 exp}
      \rput(-1.6,1.4){\blue$\mathcal{C}_f$}
      %
      \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
      %
      \rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
      \psplot{-.6}{5}{x 5 mul 4 sub}
      %
      \rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
      \psplot{-1}{5}{x 4 mul 3 sub}
      %
      \rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
      \psplot{-.65}{5}{x 3 mul 2 sub}
    \end{pspicture}
    \enmp
    
    
    \bgdef{\vspace*{-.8em}
      \bgen[$\bullet$]
      \item On appelle taux d'accroissement, ou taux de variation, 
        en $a$ de la fonction $f$  
        le nombre 
      \[\tau_a(h)=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
        
      \item On appelle nombre dérivé en $a$ la limite, lorsqu'elle existe, 
        de $\tau_a(h)$ 
        quand $h$ se rapproche, ou tend vers, $0$. 
        On note ce nombre, lorqu'il existe, $f'(a)$: 
        \[\bgar{ll}f'(a)&=\dsp\lim_{h\to0}\tau_a(h)\\[1em]
        &=\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\enar\]
    
      \item Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
        la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. 
      \enen
    }
    
    \[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
    \begin{pspicture}(-1,-0.5)(2,1.9)
      \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.3,0)
      \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
      \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
      \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{2}{x -0.5 add}
      \psline{->}(1.2,0.7)(1.5,0.7)\rput(1.3,.6){$1$}
      \psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)\rput[l](1.54,.8){$f'(a)$}
      
      %
      \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
      \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
      \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
      \rput(1.3,1.3){$\mathcal{C}_f$}
    \end{pspicture}
    \]
    
    \bgex
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
    $f(x)=\dfrac12 x^2-3$. 
    
    \bgen
    \item Tracer dans un repère orthogonal $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point
      d'abscisse $a=1$. 
    
      Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. 
    
    \item 
      \bgen[a)]
      \item Pour $h>0$, on pose $m_h=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. 
        
        Compléter le tableau: \vspace*{-2em}
        \[\hspace*{1cm}
        \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
          $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
          $m_h$ &&&&&& \\\hline
        \end{tabular}
        \]
        Vers quelle valeur tend le nombre $a_h$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ? 
    
      \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
        de $m_h$ et de celle de $f$. 
      \enen
    \enen
    \enex
    
    \noindent
    \bgmp{7cm}
    \vspace{-4.5cm}
    \bgex
    $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. 
    
    $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points
    d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. 
    
    \vspt
    Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$. 
    \enex
    \enmp\hspace{0.5cm}
    \bgmp{8cm}
    \psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
    \begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
      \psline[linewidth=1.3pt]{->}(-4.5,0)(5.7,0)
      \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
      \multido{\i=-4+1}{10}{
        \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
      }
      \multido{\i=-3+1}{8}{
        \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
      }
      \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
      \rput(5.6,3.4){$\mathcal{C}_f$}
      %
      \psplot[linewidth=1.3pt]{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
      \psplot[linewidth=1.3pt]{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
      \psplot[linewidth=1.3pt]{-0.8}{5.3}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
    \end{pspicture}
    \enmp
    
    
    
    \section{Fonction dérivée}
    
    
    \bgdef{
      Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 
    
      \bgen[$\bullet$]
      \item On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ admet un
        nombre dérivé en tout point de $I$, 
        c'est-à-dire si pour tout $a\in I$, $f'(a)$ existe.
    
      \vspd
      \item On appelle {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction notée $f'$
        qui, à tout $x$ de $I$ associe le nombre~$f'(x)$. 
      \enen
    }
    
    \bigskip
    \ct{\Large\ul{Dérivées des fonctions usuelles}}
    %\vspq
    
    
    \newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}
    
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
    \rule[-1.2em]{0em}{2.8em}
    Fonction $f(x)=$ &
    Dérivée $f'(x)=$ &
    $f$ est définie sur & $f$ est dérivable sur
    \tabularnewline\hline
    
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$k$ (constante)} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$0$} & 
    \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline 
    
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$x$} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$1$}  & 
    \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
    
    %\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} & 
    %\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} &
    %\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
    
    \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$x^2$} & 
    \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$2x$} & 
    \multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline
    
    \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$x^n$\ \ ($n\in\N$)} & 
    \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$nx^{n-1}$} & 
    \multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline
    
    \raisebox{0.25cm}[1.cm]{$\dfrac1x$} & 
    \raisebox{0.25cm}[1cm]{$-\dfrac1{x^2}$} & 
    \multicolumn{2}{c|}{
    \raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline
    \rule[-1em]{0em}{3em}$\cos(x)$&$-\sin(x)$&
    \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
    \rule[-1em]{0em}{3em}$\sin(x)$&$\cos(x)$&
    \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
    %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f(x)=\sqrt{x}$} & 
    %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$} & 
    %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+=[0;+\infty[$} & 
    %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+^*=]0;+\infty[$} \\\hline
    
    \end{tabular}
    \end{center}
    
    
    \bigskip
    \bgmp[t]{9cm}
    \ct{\Large\ul{Opérations sur les dérivées}}
    \bigskip
    
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|}\hline
    \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
    \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
    \tabularnewline\hline
    
    \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} 
    \\\hline
    
    \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}  
    \\\hline
    
    \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}  
    \\\hline
    
    \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & 
    \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}  
    \\\hline 
    
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^2$} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$2u'u$} \\\hline
    
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^n$ ($n\in\N$)} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$nu'u^{n-1}$} \\\hline
    
    \rule[-1em]{0em}{2.8em}$\dfrac1u$ &
    $-\dfrac{u'}{u^2}$ \\\hline
    
    %\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u(v(x))$} & 
    %\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$v'(x)\tm u'(v(x))$}\\\hline
    \end{tabular}
    \end{center}
    \enmp
    \bgmp[t]{9cm}
    \ct{\Large\ul{Composées de fonctions}}
    \vspd
    
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|}\hline
    \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
    \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
    \tabularnewline\hline
    \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$u^2$ & 2{\red u'}u \\\hline
    \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$u^n$&${\red u'}u^{n-1}$\\\hline
    \rule[-1em]{0em}{2.8em}$\dfrac1u$&$-\dfrac{\red u'}{u^2}$\\\hline
    \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$\cos(u)$&$-{\red u'} \sin(u)$\\\hline
    \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$\sin(u)$&${\red u'} \cos(u)$\\\hline
    \end{tabular}
    \end{center}
    \enmp
    
    \bigskip
    \bgex
    Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
    cas: 
    
    \begin{tabular}{llll}
      a) $f(x)=3$
      &b) $f(x)=3x$ 
      &c) $f(x)=\dfrac52 x$
      &d) $f(x)=x^2$
      \\[0.4cm]
      e) $f(x)=x^7$ 
      &f) $f(x)=2x^3$
      &g) $f(x)=3x+2$
      &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
      \\[0.4cm]
      i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
      &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
      &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
      &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
      \\[0.4cm]
      m) $f(x)=2x^5-\dfrac{x^3}{3}$ 
      &n) $f(x)=(3x+2)x^2$
      &o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
      &p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
      \\[0.6cm]
      p) $f(x)=3\cos(x)$ 
      &n) $f(x)=\cos^2(x)$
      &o) $f(x)=\sin(2x+1)$
      &p) $f(x)=x\sin(2^2+1)$
    
    \end{tabular}
    \enex
    
    
    \section{Applications de la dérivation}
    
    \subsection{\'Equation d'une tangente}
    
    \bgprop{
    Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $\mathcal{C}_f$ 
    sa courbe représentative, alors 
    la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ 
    est 
    \[y=f'\lp x_0\rp\lp x-x_0\rp+f\lp x_0\rp\]
    }
    
    \bgex
    Soit la fonction $f$ définie par 
    $f(x)=x^2-2x$. 
    
    \bgen
    \item Donner le tableau de variation de $f$
    \item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en 
      $x_0=2$. 
    \item Donner de m\^eme les équations des tangentes en $x_0=-2$, 
      $x_0=0$ et $x_0=1$. 
    \item Tracer dans un repère ces quatre droites et $\mathcal{C}_f$. 
    \enen
    \enex
    
    \bgex
    Donner dans chacun des cas l'équation de la tangente à 
    $\mathcal{C}_f$ au point d'absisse $a$: 
    
    1) $f(x)=x^3+8x-32$ en $a=2$
    \qquad
    2) $f(x)=\dfrac{1}{3x^2-x+2}$ en $a=1$ 
    \qquad 
    3) $f(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$
    \enex
    
    
    \subsection{Sens de variation d'une fonction}
    
    \noindent
    \bgmp{8cm}
    On a vu que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
    la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$; 
    ainsi 
    
    \vspd
    \bgen[$\bullet$]
    \item si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante,
      et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 
    
    \vspd
    \item si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante,
      et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 
    \enen
    \enmp\hspace{0.4cm}
    \bgmp{8cm}
    \psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3)
      \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
      \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2)
      %\multido{\i=-4+1}{10}{
      %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
      %}
      %\multido{\i=-3+1}{8}{
      %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
      %}
      \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
      \rput(4.8,3.4){$\mathcal{C}_f$}
      %
      \psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add}
      \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3)
      \rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$}
      %
      \psplot{-3.5}{3.4}{-1}
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
      \rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$}
      %
      \psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add}
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25)
      \rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$}
    \end{pspicture}
    \enmp
    
    
    \bgth{
      Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
      \bgen[$\bullet$]
      \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement
        croissante sur $I$. 
      \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement
        décroissante sur $I$. 
      \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur
        $I$. 
      \enen
    }
    
    \bgex
    Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice précédent
    de a) à l)
    et des fonctions suivantes: 
    
    \noindent
    \begin{tabular}{llll}
      q) $f(x)=2x^2+4x-3$ 
      &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
      &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
      &t) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
      \\
      t) $f(x)=-x^3+6x^2-1$
    
    \end{tabular}
    \enex
    
    \subsection{Extrema d'une fonction}
    
    
    \bgdef{
      Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 
    
      $\bullet$ Un {\bf extremum} est un minimum ou un maximum. 
    
      \vsp
      $\bullet$ $f$ présente un {\bf maximum local} $m=f(x_0)$ si il
      existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
      $f(x)\leqslant f(x_0)$.  
    
      \vsp
      $\bullet$ $f$ présente un {\bf minimum local} $m=f(x_0)$ si il
      existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
      $f(x)\geqslant f(x_0)$.  
    
      \vsp
      $\bullet$ L'extremum est dit {\bf global} lorsque $J=I$.
    }
    
    \bgth{
      Si $f(x_0)$ est un extremum local sur l'intervalle $]a;b[$, 
      alors $f'(x_0)=0$. 
    
      La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ admet une tangente
      horizontale au point $\lp x_0\ ;\ f\lp x_0\rp \rp$.
    }
    
    
    \vspd\noindent
    \ul{Remarque:} 
    Ce théorème dit que:\ \ 
    $f(x_0)$ extremum local $\Longrightarrow$ $f'(x_0)=0$. 
    
    
    La réciproque: \ \ 
    $f'(x_0)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x_0)$ extremum local est FAUSSE. 
    
    \vspd
    Par exemple, soit $f(x)=x^3$. 
    Alors $f'(x)=3x^2$ et $f'(x)=0\iff x=0$. 
    Ainsi, $f'(0)=0$. 
    Néanmoins $f(0)$ n'est ni un minimum ni un maximum  local de $f$ car 
    pour $x<0$, $f(x)=x^3<0=f(0)$ et pour $x>0$, $f(x)=x^3>0=f(0)$. 
    
    \bgex
    Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
    $f(x)=-x^3+6x^2-10$. 
    
    \vsp
    Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. 
    \enex
    
    
    \bgex
    Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
    $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. 
    
    Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. 
    Est-ce un minimum ou un maximum ?
    \enex
    
    \noindent
    \bgmp{13.3cm}
    \bgex
    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 
    
    On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 
    
    \vspd
    Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
    \enex
    \enmp\hspace{0.2cm}
    \bgmp{6cm}
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
      $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline 
      &&& 4 &&\\
      $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
      & $-1$ && && 3  \\\hline
    \end{tabular}
    \enmp
    
    
    \noindent
    \bgmp{12.5cm}
    \bgex
    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 
    
    On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 
    
    \vspd
    Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
    \enex
    \enmp\hspace{0.2cm}
    \bgmp{6cm}
    \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
      $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline 
      &&& $0$ && && $3$\\
      $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && 
      \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
      \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
      $0$&\\
      & $-7$ && && $-1$ && \\\hline
    \end{tabular}
    \enmp
    
    
    \bgex
    La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
    vitesse $v$, 
    pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, 
    par l'expression 
    \[
    C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
    \]
    
    A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
    ? 
    
    \enex
    
    
    \subsection{Résolution d'équations}
    
    \bgth{{\bf des valeurs intermédiaires} 
    
      Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle
      $[a;b]$ telle que 
    
      \bgen[$\bullet$]
      \item $f$ est dérivable sur $[a;b]$ 
      \item $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ 
      \item $f(a)<k<f(b)$ ou $f(a)>k>f(b)$ 
      \enen
    
      alors, il existe un unique $\alpha\in]a;b[$ tel que $f(\alpha)=k$. 
    }
    
    \bgex
    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
    tableau de variation est le suivant: 
    \[
    \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
      $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline 
      &&& 4 &&&& 10\\
      $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
      \Large{${\nearrow}$} & \\
      & 1 && && -3 && \\\hline
    \end{tabular}
    \]
    
    Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle elles se situent,
    de l'équation 
    
    a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
    b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
    c) $f(x)=-5$
    \enex
    
    \bgex
    On considère la fonction définie sur $\R$ par 
    $f(x)=x^3+x+1$. 
    
    Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
    $[-3;2]$. 
    
    Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. 
    \enex
    
    
    \bgex
    On considère la fonction définie sur $\R$ par 
    $f(x)=x^3-3x-1$. 
    
    Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
    respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$,  $]-1;1[$ et $]1;2[$. 
    
    Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
    solutions.  
    \enex
    
    
    \label{LastPage}
    \end{document}
    

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