Source Latex: Cours de mathématiques, Dérivée des fonctions
Première STI2D
Dérivée des fonctions
Cours de mathématiques 1ère STI2D - Dérivation des fonctions- Fichier
- Type: Cours
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- Description
- Cours de mathématiques 1ère STI2D - Dérivation des fonctions
- Niveau
- Première STI2D
- Table des matières
- Rappels sur les fonctions
- Courbe représentative d'une fonction
- Fonctions affines et droites
- Nombre dérivé en a d'une fonction
- Fonction dérivée
- Application de la dérivation
- Équation de la tangente
- Sens de variation d'une fonction
- Extrema d'une fonction
- Résolution d'équations et valeurs intermédiaires
- Exercices
- Rappels sur les fonctions
- Mots clé
- dérivation, dérivée, fonction, étude de fonction, calcul de dérivées, tangente et équation de la tangente, sens de variation, théorème des valeurs intermédiaires, maths, première, 1ère, STI2D
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{calc} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: Dérivation des fonctions}, pdftitle={Dérivation des fonctions}, pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D, dérivée, dérivation des fonctions} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{Définition \ } \noindent \paragraph{Définition} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp } \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Théorème \ } \noindent \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp } \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propriété} \noindent \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp } \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{ \protect\vspace*{\fill}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1.2cm \textheight=27.cm \textwidth=19cm \topmargin=0cm \headheight=-0.cm \footskip=1.cm \oddsidemargin=-1.5cm \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}} \cfoot{} \rfoot{Dérivation des fonctions - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \vspace*{-0.5cm} \hfill{\LARGE \bf Dérivation des fonctions} \hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$ \vspace{0.4cm} \vspace{-0.3cm} \section{Rappel sur les fonctions} \subsection{Courbe représentative d'une fonction} La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. \bgmp{9.2cm} \psset{unit=3cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35) \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add} \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75) \rput(1.7,-0.1){$x$} \rput[r](-0.1,0.75){$y=f(x)$} \rput[l](1.8,0.75){$M(x;y)$} \end{pspicture} \enmp \bgmp{8cm} \[M(x;y) \in \mathcal{C}_f \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x) \] \enmp \vspd\noindent \ul{Exemple:} Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$. Un point $M(x;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y=f(x)$, c'est-à-dire si $y=f(x)=2x-1$. $\mathcal{C}_f$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$. %\vspd\noindent \bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x^2-3x+2$. Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: $A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ $C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$ \ ;\ $E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ . \vsp Placer ces points dans un repère et tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. \enex \subsection{Fonctions affines et droites} Une fonction affine est définie sur $\R$ par une expression qui peut s'écrire sous la forme $f(x)=mx+p$. Sa courbe représentative est la droite d'équation $y=mx+p$. \bgex Tracer les droites $D_1: y=2x+1$, $D_2: y=-x+1$ et $D_3:y=2x+3$. Tracer la courbe représentative des fonctions définies par les expressions $f(x)=x^2$, $g(x)=-2x^2+4x+1$, $h(x)=2x-1$. \enex \bgprop{Soit la fonction affine $f(x)=mx+p$ et sa droite représentative d'équation $y=mx+p$: \bgit \item $p$ est l'ordonnée à l'origine (lorsque $x=0$) \item $m$ est le coefficient directeur, ou la pente: \\ Si la droite passe par $A\lp x_A;y_A\rp$ et $B\lp x_N;y_B\rp$ alors \\ \bgmp{4cm} \[\bgar{ll}m&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\[1em] &=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\enar\] \enmp\qquad \bgmp{8cm} \psset{xunit=.8cm,yunit=.7cm,,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-3,-2)(5.2,5) \psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(5,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2)(0,5) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x .8 mul 1 add} \psline{->}(2,2.6)(4,2.6) \psline{->}(4,2.6)(4,4.2) \rput(3,2.1){$\Delta x$}\rput[l](4.3,3.1){$\Delta y$} \rput[r](-.15,1.25){$p$} \rput(-1,-.6){-$\frac{p}{m}$} \end{pspicture} \enmp Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le m\^eme coefficient directeur \enit } \bgex Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par $A(1;2)$ et $B(5;10)$. \enex \noindent \bgmp{6cm} \bgex Déterminer l'équation des droites. \enex \enmp \bgmp{10cm} \psset{unit=.8cm,,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-5.6,-5.6)(5.6,5.6) \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.4,0)(5.6,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5.4)(0,5.6) \multido{\i=-5+1}{11}{ \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,5.2) \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](-5.2,\i)(5.2,\i) \rput(\i,-.2){$\i$} \rput[r](-.1,\i){$\i$}} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x 2 add} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{-2 x mul 1 add} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{3} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{.25 x mul -3 add} \end{pspicture*} \enmp \bgex Soit $f(x)=x^2-2x$. Soit $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1, et $B$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 3. Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par $A$ et $B$. Tracer $\mathcal{C}_f$ et $D$. \enex \section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction} \noindent \bgmp{9.cm} \bgex Soit $f$ la fonction carré et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. \bgen \item Tracer sur une figure $\mathcal{C}_f$ et placer les points $A$, $M_1$, $M_2$, $M_3$. \item Calculer les coefficients directeurs des droites $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. \item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $1+h$. Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite $(AM)$. \item Compléter le tableau: \[\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline $m_h$ &&&&&& \\\hline \end{tabular} \] \item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ? \enen \enex \enmp\hspace{0.3cm} \bgmp{9cm} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-1.,-6.5)(4,20) \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0) \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6) \multido{\i=0+1}{5}{ \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1) \rput(\i,-0.5){$\i$} } \multido{\i=-4+2}{12}{ \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i) \rput(-0.3,\i){$\i$} } \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.8}{x 2 exp} \rput(-1.6,1.4){\blue$\mathcal{C}_f$} % \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$} % \rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$} \psplot{-.6}{5}{x 5 mul 4 sub} % \rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$} \psplot{-1}{5}{x 4 mul 3 sub} % \rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$} \psplot{-.65}{5}{x 3 mul 2 sub} \end{pspicture} \enmp \bgdef{\vspace*{-.8em} \bgen[$\bullet$] \item On appelle taux d'accroissement, ou taux de variation, en $a$ de la fonction $f$ le nombre \[\tau_a(h)=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] \item On appelle nombre dérivé en $a$ la limite, lorsqu'elle existe, de $\tau_a(h)$ quand $h$ se rapproche, ou tend vers, $0$. On note ce nombre, lorqu'il existe, $f'(a)$: \[\bgar{ll}f'(a)&=\dsp\lim_{h\to0}\tau_a(h)\\[1em] &=\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\enar\] \item Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. \enen } \[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(2,1.9) \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.3,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7) \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add} \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{2}{x -0.5 add} \psline{->}(1.2,0.7)(1.5,0.7)\rput(1.3,.6){$1$} \psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)\rput[l](1.54,.8){$f'(a)$} % \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5) \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$} \rput(1.3,1.3){$\mathcal{C}_f$} \end{pspicture} \] \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac12 x^2-3$. \bgen \item Tracer dans un repère orthogonal $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point d'abscisse $a=1$. Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. \item \bgen[a)] \item Pour $h>0$, on pose $m_h=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Compléter le tableau: \vspace*{-2em} \[\hspace*{1cm} \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline $m_h$ &&&&&& \\\hline \end{tabular} \] Vers quelle valeur tend le nombre $a_h$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ? \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression de $m_h$ et de celle de $f$. \enen \enen \enex \noindent \bgmp{7cm} \vspace{-4.5cm} \bgex $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. \vspt Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$. \enex \enmp\hspace{0.5cm} \bgmp{8cm} \psset{unit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(-4.5,0)(5.7,0) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8) \multido{\i=-4+1}{10}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2) } \multido{\i=-3+1}{8}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i) } \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add} \rput(5.6,3.4){$\mathcal{C}_f$} % \psplot[linewidth=1.3pt]{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$} \psplot[linewidth=1.3pt]{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$} \psplot[linewidth=1.3pt]{-0.8}{5.3}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$} \end{pspicture} \enmp \section{Fonction dérivée} \bgdef{ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \bgen[$\bullet$] \item On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ admet un nombre dérivé en tout point de $I$, c'est-à-dire si pour tout $a\in I$, $f'(a)$ existe. \vspd \item On appelle {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction notée $f'$ qui, à tout $x$ de $I$ associe le nombre~$f'(x)$. \enen } \bigskip \ct{\Large\ul{Dérivées des fonctions usuelles}} %\vspq \newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline \rule[-1.2em]{0em}{2.8em} Fonction $f(x)=$ & Dérivée $f'(x)=$ & $f$ est définie sur & $f$ est dérivable sur \tabularnewline\hline \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$k$ (constante)} & \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$0$} & \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$x$} & \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$1$} & \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline %\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} & %\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} & %\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$x^2$} & \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$2x$} & \multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$x^n$\ \ ($n\in\N$)} & \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$nx^{n-1}$} & \multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline \raisebox{0.25cm}[1.cm]{$\dfrac1x$} & \raisebox{0.25cm}[1cm]{$-\dfrac1{x^2}$} & \multicolumn{2}{c|}{ \raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline \rule[-1em]{0em}{3em}$\cos(x)$&$-\sin(x)$& \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline \rule[-1em]{0em}{3em}$\sin(x)$&$\cos(x)$& \multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f(x)=\sqrt{x}$} & %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$} & %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+=[0;+\infty[$} & %\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+^*=]0;+\infty[$} \\\hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \bgmp[t]{9cm} \ct{\Large\ul{Opérations sur les dérivées}} \bigskip \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|}\hline \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} & \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} \tabularnewline\hline \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} & \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} \\\hline \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$} \\\hline \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & \raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$} \\\hline \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & \raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$} \\\hline \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^2$} & \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$2u'u$} \\\hline \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^n$ ($n\in\N$)} & \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$nu'u^{n-1}$} \\\hline \rule[-1em]{0em}{2.8em}$\dfrac1u$ & $-\dfrac{u'}{u^2}$ \\\hline %\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u(v(x))$} & %\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$v'(x)\tm u'(v(x))$}\\\hline \end{tabular} \end{center} \enmp \bgmp[t]{9cm} \ct{\Large\ul{Composées de fonctions}} \vspd \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|}\hline \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} & \raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} \tabularnewline\hline \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$u^2$ & 2{\red u'}u \\\hline \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$u^n$&${\red u'}u^{n-1}$\\\hline \rule[-1em]{0em}{2.8em}$\dfrac1u$&$-\dfrac{\red u'}{u^2}$\\\hline \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$\cos(u)$&$-{\red u'} \sin(u)$\\\hline \rule[-.6em]{0em}{2.2em}$\sin(u)$&${\red u'} \cos(u)$\\\hline \end{tabular} \end{center} \enmp \bigskip \bgex Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des cas: \begin{tabular}{llll} a) $f(x)=3$ &b) $f(x)=3x$ &c) $f(x)=\dfrac52 x$ &d) $f(x)=x^2$ \\[0.4cm] e) $f(x)=x^7$ &f) $f(x)=2x^3$ &g) $f(x)=3x+2$ &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \\[0.4cm] i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$ &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$ &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$ \\[0.4cm] m) $f(x)=2x^5-\dfrac{x^3}{3}$ &n) $f(x)=(3x+2)x^2$ &o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$ &p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$ \\[0.6cm] p) $f(x)=3\cos(x)$ &n) $f(x)=\cos^2(x)$ &o) $f(x)=\sin(2x+1)$ &p) $f(x)=x\sin(2^2+1)$ \end{tabular} \enex \section{Applications de la dérivation} \subsection{\'Equation d'une tangente} \bgprop{ Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative, alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ est \[y=f'\lp x_0\rp\lp x-x_0\rp+f\lp x_0\rp\] } \bgex Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2x$. \bgen \item Donner le tableau de variation de $f$ \item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x_0=2$. \item Donner de m\^eme les équations des tangentes en $x_0=-2$, $x_0=0$ et $x_0=1$. \item Tracer dans un repère ces quatre droites et $\mathcal{C}_f$. \enen \enex \bgex Donner dans chacun des cas l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'absisse $a$: 1) $f(x)=x^3+8x-32$ en $a=2$ \qquad 2) $f(x)=\dfrac{1}{3x^2-x+2}$ en $a=1$ \qquad 3) $f(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$ \enex \subsection{Sens de variation d'une fonction} \noindent \bgmp{8cm} On a vu que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$; ainsi \vspd \bgen[$\bullet$] \item si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante, et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ \vspd \item si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante, et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ \enen \enmp\hspace{0.4cm} \bgmp{8cm} \psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2) %\multido{\i=-4+1}{10}{ % \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2) %} %\multido{\i=-3+1}{8}{ % \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i) %} \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add} \rput(4.8,3.4){$\mathcal{C}_f$} % \psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add} \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3) \rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$} % \psplot{-3.5}{3.4}{-1} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1) \rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$} % \psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add} \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25) \rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$} \end{pspicture} \enmp \bgth{ Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. \bgen[$\bullet$] \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur $I$. \enen } \bgex Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice précédent de a) à l) et des fonctions suivantes: \noindent \begin{tabular}{llll} q) $f(x)=2x^2+4x-3$ &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$ &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$ &t) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$ \\ t) $f(x)=-x^3+6x^2-1$ \end{tabular} \enex \subsection{Extrema d'une fonction} \bgdef{ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $\bullet$ Un {\bf extremum} est un minimum ou un maximum. \vsp $\bullet$ $f$ présente un {\bf maximum local} $m=f(x_0)$ si il existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$, $f(x)\leqslant f(x_0)$. \vsp $\bullet$ $f$ présente un {\bf minimum local} $m=f(x_0)$ si il existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$, $f(x)\geqslant f(x_0)$. \vsp $\bullet$ L'extremum est dit {\bf global} lorsque $J=I$. } \bgth{ Si $f(x_0)$ est un extremum local sur l'intervalle $]a;b[$, alors $f'(x_0)=0$. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ admet une tangente horizontale au point $\lp x_0\ ;\ f\lp x_0\rp \rp$. } \vspd\noindent \ul{Remarque:} Ce théorème dit que:\ \ $f(x_0)$ extremum local $\Longrightarrow$ $f'(x_0)=0$. La réciproque: \ \ $f'(x_0)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x_0)$ extremum local est FAUSSE. \vspd Par exemple, soit $f(x)=x^3$. Alors $f'(x)=3x^2$ et $f'(x)=0\iff x=0$. Ainsi, $f'(0)=0$. Néanmoins $f(0)$ n'est ni un minimum ni un maximum local de $f$ car pour $x<0$, $f(x)=x^3<0=f(0)$ et pour $x>0$, $f(x)=x^3>0=f(0)$. \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par $f(x)=-x^3+6x^2-10$. \vsp Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. \enex \bgex Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. Est-ce un minimum ou un maximum ? \enex \noindent \bgmp{13.3cm} \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: \vspd Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. \enex \enmp\hspace{0.2cm} \bgmp{6cm} \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline &&& 4 &&\\ $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\ & $-1$ && && 3 \\\hline \end{tabular} \enmp \noindent \bgmp{12.5cm} \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: \vspd Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. \enex \enmp\hspace{0.2cm} \bgmp{6cm} \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline &&& $0$ && && $3$\\ $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&& \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) $0$&\\ & $-7$ && && $-1$ && \\\hline \end{tabular} \enmp \bgex La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la vitesse $v$, pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, par l'expression \[ C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ . \] A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale ? \enex \subsection{Résolution d'équations} \bgth{{\bf des valeurs intermédiaires} Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;b]$ telle que \bgen[$\bullet$] \item $f$ est dérivable sur $[a;b]$ \item $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ \item $f(a)<k<f(b)$ ou $f(a)>k>f(b)$ \enen alors, il existe un unique $\alpha\in]a;b[$ tel que $f(\alpha)=k$. } \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le tableau de variation est le suivant: \[ \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline &&& 4 &&&& 10\\ $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} && \Large{${\nearrow}$} & \\ & 1 && && -3 && \\\hline \end{tabular} \] Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle elles se situent, de l'équation a) $f(x)=0$ \hspace{2cm} b) $f(x)=2$ \hspace{2cm} c) $f(x)=-5$ \enex \bgex On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x+1$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-3;2]$. Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. \enex \bgex On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x-1$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions, respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$, $]-1;1[$ et $]1;2[$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces solutions. \enex \label{LastPage} \end{document}
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