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Dérivée des fonctions

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Description

Cours de mathématiques 1ère STI2D - Dérivation des fonctions

Niveau

Première STI2D

Table des matières

• Rappels sur les fonctions
  • Courbe représentative d'une fonction
  • Fonctions affines et droites
• Nombre dérivé en a d'une fonction
• Fonction dérivée
• Application de la dérivation
  • Équation de la tangente
  • Sens de variation d'une fonction
  • Extrema d'une fonction
  • Résolution d'équations et valeurs intermédiaires
• Exercices

Mots clé

dérivation, dérivée, fonction, étude de fonction, calcul de dérivées, tangente et équation de la tangente, sens de variation, théorème des valeurs intermédiaires, maths, première, 1ère, STI2D

Quelques devoirs

Devoir corrigé
Second degré, signes, taux de variation et position relative
Résolution et inéquations, tableau de signes. Variations d'une fonction du second degré et d'une fonction affine. Taux de variation d'une fonction. Position relative d'une parabole et d'une droite.


Devoir corrigé
Tableaux de signes, et généralités sur les fonctions
Tableaux de signes d'expression algébriques. Résolution graphique d'équation et inéquation. Variations d'une fonction du second degré et d'une fonction affine. Taux de variation d'une fonction.


Devoir corrigé
Dérivée, variation et tangentes
Nombre dérivé. Calcul de fonctions dérivées et étude du sens de variation. Équation de la tangente en un point.


Devoir corrigé
Nombre dérivé, fonction dérivée, tangentes et variations
Lecture graphique du nombre dérivé. Calculs de fonctions dérivées. Équations de tangentes et sens de variation d'une fonction.


Devoir corrigé
Dérivées et primitives
Calculs de fonctions dérivées et de primitives. Sens de variation d'une fonction.

Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: Dérivation des fonctions},
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    pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D, 
      dérivée, dérivation des fonctions}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \ }
  \noindent
  \paragraph{Définition}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp
}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp
}

\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
}


\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Dérivation des fonctions - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf Dérivation des fonctions}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
\vspace{0.4cm}

\vspace{-0.3cm}

\section{Rappel sur les fonctions}

\subsection{Courbe représentative d'une fonction}

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
$M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. 

\bgmp{9.2cm}
\psset{unit=3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.1){$x$}
  \rput[r](-0.1,0.75){$y=f(x)$}
  \rput[l](1.8,0.75){$M(x;y)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\[M(x;y) \in \mathcal{C}_f \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
\]
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$. 

Un point $M(x;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y=f(x)$, 
c'est-à-dire si $y=f(x)=2x-1$. 

$\mathcal{C}_f$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$. 

%\vspd\noindent
\bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=2x^2-3x+2$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ 
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$  \ ;\ 
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .

\vsp
Placer ces points dans un repère et tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex

\subsection{Fonctions affines et droites}

Une fonction affine est définie sur $\R$ 
par une expression qui peut s'écrire sous la forme 
$f(x)=mx+p$. 

Sa courbe représentative est la droite d'équation $y=mx+p$. 

\bgex
Tracer les droites 
$D_1: y=2x+1$, $D_2: y=-x+1$ et $D_3:y=2x+3$. 

Tracer la courbe représentative des fonctions 
définies par les expressions 
$f(x)=x^2$, 
$g(x)=-2x^2+4x+1$, 
$h(x)=2x-1$. 
\enex

\bgprop{Soit la fonction affine $f(x)=mx+p$ 
et sa droite représentative d'équation $y=mx+p$: 
\bgit
\item $p$ est l'ordonnée à l'origine (lorsque $x=0$)
\item $m$ est le coefficient directeur, ou la pente: \\
  Si la droite passe par $A\lp x_A;y_A\rp$ 
  et $B\lp x_N;y_B\rp$ 
  alors \\
  \bgmp{4cm}
  \[\bgar{ll}m&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\[1em]
  &=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\enar\]
  \enmp\qquad
  \bgmp{8cm}
  \psset{xunit=.8cm,yunit=.7cm,,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(5.2,5)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(5,0)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2)(0,5)
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x .8 mul 1 add}
    \psline{->}(2,2.6)(4,2.6)
    \psline{->}(4,2.6)(4,4.2)
    \rput(3,2.1){$\Delta x$}\rput[l](4.3,3.1){$\Delta y$}
    \rput[r](-.15,1.25){$p$}
    \rput(-1,-.6){-$\frac{p}{m}$}
  \end{pspicture}
  \enmp

  Deux droites sont parallèles si et seulement si 
  elles ont le m\^eme coefficient directeur
\enit
}

\bgex
Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par 
$A(1;2)$ et $B(5;10)$. 
\enex

\noindent
\bgmp{6cm}
\bgex 

Déterminer l'équation des droites. 
\enex
\enmp
\bgmp{10cm}
  \psset{unit=.8cm,,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture*}(-5.6,-5.6)(5.6,5.6)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.4,0)(5.6,0)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5.4)(0,5.6)
    \multido{\i=-5+1}{11}{
      \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,5.2)
      \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](-5.2,\i)(5.2,\i)
      \rput(\i,-.2){$\i$}
      \rput[r](-.1,\i){$\i$}}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x 2 add}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{-2 x mul 1 add}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{3}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{.25 x mul -3 add}
  \end{pspicture*}
\enmp

\bgex
Soit $f(x)=x^2-2x$. 
Soit $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1, 
et $B$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 3.  

Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par $A$ et $B$. 
Tracer $\mathcal{C}_f$ et $D$. 
\enex



\section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction}

\noindent
\bgmp{9.cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction carré 
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses
respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. 

\bgen
\item Tracer sur une figure $\mathcal{C}_f$ et placer les points $A$, 
  $M_1$, $M_2$, $M_3$. 
\item Calculer les coefficients directeurs des droites 
  $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. 

\item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
  $1+h$. 

  Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
  $(AM)$.  

\item Compléter le tableau: 

  \[\hspace*{-1cm}
  \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
    $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
    $m_h$ &&&&&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]

\item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1.,-6.5)(4,20)
  \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
  \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
  \multido{\i=0+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.5){$\i$}
  }
  \multido{\i=-4+2}{12}{
    \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.8}{x 2 exp}
  \rput(-1.6,1.4){\blue$\mathcal{C}_f$}
  %
  \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
  %
  \rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
  \psplot{-.6}{5}{x 5 mul 4 sub}
  %
  \rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
  \psplot{-1}{5}{x 4 mul 3 sub}
  %
  \rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
  \psplot{-.65}{5}{x 3 mul 2 sub}
\end{pspicture}
\enmp


\bgdef{\vspace*{-.8em}
  \bgen[$\bullet$]
  \item On appelle taux d'accroissement, ou taux de variation, 
    en $a$ de la fonction $f$  
    le nombre 
  \[\tau_a(h)=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
    
  \item On appelle nombre dérivé en $a$ la limite, lorsqu'elle existe, 
    de $\tau_a(h)$ 
    quand $h$ se rapproche, ou tend vers, $0$. 
    On note ce nombre, lorqu'il existe, $f'(a)$: 
    \[\bgar{ll}f'(a)&=\dsp\lim_{h\to0}\tau_a(h)\\[1em]
    &=\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\enar\]

  \item Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
    la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. 
  \enen
}

\[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(2,1.9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.3,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{2}{x -0.5 add}
  \psline{->}(1.2,0.7)(1.5,0.7)\rput(1.3,.6){$1$}
  \psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)\rput[l](1.54,.8){$f'(a)$}
  
  %
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
  \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
  \rput(1.3,1.3){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\]

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac12 x^2-3$. 

\bgen
\item Tracer dans un repère orthogonal $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point
  d'abscisse $a=1$. 

  Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. 

\item 
  \bgen[a)]
  \item Pour $h>0$, on pose $m_h=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. 
    
    Compléter le tableau: \vspace*{-2em}
    \[\hspace*{1cm}
    \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
      $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
      $m_h$ &&&&&& \\\hline
    \end{tabular}
    \]
    Vers quelle valeur tend le nombre $a_h$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ? 

  \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
    de $m_h$ et de celle de $f$. 
  \enen
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-4.5cm}
\bgex
$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. 

$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. 

\vspt
Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$. 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
  \psline[linewidth=1.3pt]{->}(-4.5,0)(5.7,0)
  \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
  \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-3+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(5.6,3.4){$\mathcal{C}_f$}
  %
  \psplot[linewidth=1.3pt]{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
  \psplot[linewidth=1.3pt]{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
  \psplot[linewidth=1.3pt]{-0.8}{5.3}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp



\section{Fonction dérivée}


\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  \bgen[$\bullet$]
  \item On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ admet un
    nombre dérivé en tout point de $I$, 
    c'est-à-dire si pour tout $a\in I$, $f'(a)$ existe.

  \vspd
  \item On appelle {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction notée $f'$
    qui, à tout $x$ de $I$ associe le nombre~$f'(x)$. 
  \enen
}

\bigskip
\ct{\Large\ul{Dérivées des fonctions usuelles}}
%\vspq


\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
\rule[-1.2em]{0em}{2.8em}
Fonction $f(x)=$ &
Dérivée $f'(x)=$ &
$f$ est définie sur & $f$ est dérivable sur
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$k$ (constante)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$0$} & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline 

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$x$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$1$}  & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} &
%\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$x^2$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$2x$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$x^n$\ \ ($n\in\N$)} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$nx^{n-1}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$\dfrac1x$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$-\dfrac1{x^2}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline
\rule[-1em]{0em}{3em}$\cos(x)$&$-\sin(x)$&
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
\rule[-1em]{0em}{3em}$\sin(x)$&$\cos(x)$&
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f(x)=\sqrt{x}$} & 
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$} & 
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+=[0;+\infty[$} & 
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+^*=]0;+\infty[$} \\\hline

\end{tabular}
\end{center}


\bigskip
\bgmp[t]{9cm}
\ct{\Large\ul{Opérations sur les dérivées}}
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} 
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}  
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}  
\\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}  
\\\hline 

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^2$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$2u'u$} \\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^n$ ($n\in\N$)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$nu'u^{n-1}$} \\\hline

\rule[-1em]{0em}{2.8em}$\dfrac1u$ &
$-\dfrac{u'}{u^2}$ \\\hline

%\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u(v(x))$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$v'(x)\tm u'(v(x))$}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enmp
\bgmp[t]{9cm}
\ct{\Large\ul{Composées de fonctions}}
\vspd

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
\tabularnewline\hline
\rule[-.6em]{0em}{2.2em}$u^2$ & 2{\red u'}u \\\hline
\rule[-.6em]{0em}{2.2em}$u^n$&${\red u'}u^{n-1}$\\\hline
\rule[-1em]{0em}{2.8em}$\dfrac1u$&$-\dfrac{\red u'}{u^2}$\\\hline
\rule[-.6em]{0em}{2.2em}$\cos(u)$&$-{\red u'} \sin(u)$\\\hline
\rule[-.6em]{0em}{2.2em}$\sin(u)$&${\red u'} \cos(u)$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enmp

\bigskip
\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3$
  &b) $f(x)=3x$ 
  &c) $f(x)=\dfrac52 x$
  &d) $f(x)=x^2$
  \\[0.4cm]
  e) $f(x)=x^7$ 
  &f) $f(x)=2x^3$
  &g) $f(x)=3x+2$
  &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
  \\[0.4cm]
  i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
  &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
  &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
  &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
  \\[0.4cm]
  m) $f(x)=2x^5-\dfrac{x^3}{3}$ 
  &n) $f(x)=(3x+2)x^2$
  &o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
  &p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
  \\[0.6cm]
  p) $f(x)=3\cos(x)$ 
  &n) $f(x)=\cos^2(x)$
  &o) $f(x)=\sin(2x+1)$
  &p) $f(x)=x\sin(2^2+1)$

\end{tabular}
\enex


\section{Applications de la dérivation}

\subsection{\'Equation d'une tangente}

\bgprop{
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $\mathcal{C}_f$ 
sa courbe représentative, alors 
la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ 
est 
\[y=f'\lp x_0\rp\lp x-x_0\rp+f\lp x_0\rp\]
}

\bgex
Soit la fonction $f$ définie par 
$f(x)=x^2-2x$. 

\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$
\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en 
  $x_0=2$. 
\item Donner de m\^eme les équations des tangentes en $x_0=-2$, 
  $x_0=0$ et $x_0=1$. 
\item Tracer dans un repère ces quatre droites et $\mathcal{C}_f$. 
\enen
\enex

\bgex
Donner dans chacun des cas l'équation de la tangente à 
$\mathcal{C}_f$ au point d'absisse $a$: 

1) $f(x)=x^3+8x-32$ en $a=2$
\qquad
2) $f(x)=\dfrac{1}{3x^2-x+2}$ en $a=1$ 
\qquad 
3) $f(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$
\enex


\subsection{Sens de variation d'une fonction}

\noindent
\bgmp{8cm}
On a vu que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$; 
ainsi 

\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante,
  et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 

\vspd
\item si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante,
  et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 
\enen
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2)
  %\multido{\i=-4+1}{10}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  %}
  %\multido{\i=-3+1}{8}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  %}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(4.8,3.4){$\mathcal{C}_f$}
  %
  \psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add}
  \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3)
  \rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$}
  %
  \psplot{-3.5}{3.4}{-1}
  \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
  \rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$}
  %
  \psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add}
  \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25)
  \rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgth{
  Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
  \bgen[$\bullet$]
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement
    croissante sur $I$. 
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement
    décroissante sur $I$. 
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur
    $I$. 
  \enen
}

\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice précédent
de a) à l)
et des fonctions suivantes: 

\noindent
\begin{tabular}{llll}
  q) $f(x)=2x^2+4x-3$ 
  &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
  &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
  &t) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
  \\
  t) $f(x)=-x^3+6x^2-1$

\end{tabular}
\enex

\subsection{Extrema d'une fonction}


\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  $\bullet$ Un {\bf extremum} est un minimum ou un maximum. 

  \vsp
  $\bullet$ $f$ présente un {\bf maximum local} $m=f(x_0)$ si il
  existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
  $f(x)\leqslant f(x_0)$.  

  \vsp
  $\bullet$ $f$ présente un {\bf minimum local} $m=f(x_0)$ si il
  existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
  $f(x)\geqslant f(x_0)$.  

  \vsp
  $\bullet$ L'extremum est dit {\bf global} lorsque $J=I$.
}

\bgth{
  Si $f(x_0)$ est un extremum local sur l'intervalle $]a;b[$, 
  alors $f'(x_0)=0$. 

  La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ admet une tangente
  horizontale au point $\lp x_0\ ;\ f\lp x_0\rp \rp$.
}


\vspd\noindent
\ul{Remarque:} 
Ce théorème dit que:\ \ 
$f(x_0)$ extremum local $\Longrightarrow$ $f'(x_0)=0$. 


La réciproque: \ \ 
$f'(x_0)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x_0)$ extremum local est FAUSSE. 

\vspd
Par exemple, soit $f(x)=x^3$. 
Alors $f'(x)=3x^2$ et $f'(x)=0\iff x=0$. 
Ainsi, $f'(0)=0$. 
Néanmoins $f(0)$ n'est ni un minimum ni un maximum  local de $f$ car 
pour $x<0$, $f(x)=x^3<0=f(0)$ et pour $x>0$, $f(x)=x^3>0=f(0)$. 

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=-x^3+6x^2-10$. 

\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. 

Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. 
Est-ce un minimum ou un maximum ?
\enex

\noindent
\bgmp{13.3cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline 
  &&& 4 &&\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
  & $-1$ && && 3  \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline 
  &&& $0$ && && $3$\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && 
  \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
  \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
  $0$&\\
  & $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$, 
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, 
par l'expression 
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]

A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
? 

\enex


\subsection{Résolution d'équations}

\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires} 

  Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle
  $[a;b]$ telle que 

  \bgen[$\bullet$]
  \item $f$ est dérivable sur $[a;b]$ 
  \item $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ 
  \item $f(a)<k<f(b)$ ou $f(a)>k>f(b)$ 
  \enen

  alors, il existe un unique $\alpha\in]a;b[$ tel que $f(\alpha)=k$. 
}

\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
tableau de variation est le suivant: 
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline 
  &&& 4 &&&& 10\\
  $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
  \Large{${\nearrow}$} & \\
  & 1 && && -3 && \\\hline
\end{tabular}
\]

Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle elles se situent,
de l'équation 

a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
c) $f(x)=-5$
\enex

\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+x+1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$. 

Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. 
\enex


\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3-3x-1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$,  $]-1;1[$ et $]1;2[$. 

Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.  
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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