Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={ROC},
pdfkeywords={Math�matiques, 1�reS, 1S, premi�re S,
devoir, DS, DM, corrig�, correction, solution,
second degr�, 2nd degr�, polynome, polyn�me,
fonctions, d�riv�es,
fonctions associ�es, fonction associ�e,
sens de variation
}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\Cf}{\mathcal{C}_f}
\nwc{\Oij}{\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
%{\pagestyle{empty}}%
%{%
%\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrig� du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{�re}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
\ct{\bf\LARGE{Corrig� du devoir de math\'ematiques}}
\vspace{-0.4cm}
\bgex
\bgen
\item {\bf Vrai.}
$f$ est une fonction polyn�me, donc d�rivable sur $\R$,
avec, pour tout $x$ r�el,
$f'(x)=-6x^2+6=-6(x^2-1)=-6(x-1)(x+1)$.
$f'(x)$ est un trin�me du second degr� qui a deux racines
$-1$ et $1$ et qui est positif sur $[-1;1]$,
donc aussi sur $[0;1]$.
$f$ est donc croissante sur $[0;1]$.
\item {\bf Faux.} Pour tout nombre $x$, $f'(x)\geqslant 0$.
Par exemple, $f(x)=x^3$ est bien strictement croissante sur $\R$,
mais on a $f'(0)=0$.
\item {\bf Faux.}
On peut raisonner de plusieurs fa�ons:
\bgit
\item On peut essayer quelques valeurs pour $a$ et $b$,
par exemple, pour $-1<a=0<b=2$,
$h(a)=h(0)=0$ et
$h(b)=h(2)=0$,
ce qui montre que l'on n'a pas, pour
tout $-1<a<b$, $h(a)<h(b)$.
\item L'assertion de l'�nonc� est �quivalente � dire que
la fonction $h$ est strictement d�croissante sur
$]-1;+\infty[$.
Il suffit donc d'�tudier son sens de variation.
Pour tout $x\in\R\setminus\la-1\ra$,
$h'(x)
=\dfrac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x)}{(x+1)^2}
=\dfrac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}
$
Le trin�me du num�rateur a pour discriminant
$\Delta=12>0$, et a donc 2 racines distinctes:
$x_1$ et $x_2$, et est positif (signe de $a$)
� l'ext�rieur de ces racines.
Ainsi, comme $(1+x)^2>0$ pour $x>-1$,
pour $x$ assez grand ($x>-1$ et $x>x_2$),
$h'(x)>0$ et $h$ est croissante.
\enit
\item {\bf Vrai.}
La courbe repr�sentative de $h$ admet une tangente horizontale aux
points d'abscisse $x$ tels que $h'(x)=0$.
Or
$h'(x)
=\dfrac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x)}{(x+1)^2}
=\dfrac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}
$,
et donc,
$h'(x)=0
\iff
x^2+2x-2=0
$.
Ce trin�me aa pour discriminant $\Delta=12>0$ et admet donc 2
racines distinctes, qui sont donc les abscisses des points de la
courbe de $h$ en lesquels la tangente est horizontale.
\enen
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
\bgen
\item On sait que $O\in\Cf\iff f(0)=\ul{d=0}$.
La tangente $T$ en $O$ � $\Cf$ passe par les points $O(0;0)$ et
$A(1;12)$ et a donc pour coefficient directeur
$m=\dfrac{12-0}{1-0}=12$.
Ainsi, $f'(0)=12$.
Or, pour tout r�el $x$, $f'(x)=3ax^2+2bx+c$,
et donc, $f'(0)=\ul{c=12}$.
On a de m�me, en $M$,
$f(2)=8a+4b+2c=8a+4b+24=4\iff 2a+b=-5$,
et, $f'(2)=12a+4b+c=12a+4b+12=0\iff 3a+b=-3$
En soustrayant ces deux derni�res �quations,
on obtient $\ul{a=2}$, et donc, $b=-3-3a$ soit $\ul{b=-9}$.
Ainsi, pour tout r�el $x$,
$f(x)=2x^3-9x^2+12x$.
\item Pour tout r�el $x$,
$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-2)(x-1)$
(car on a d�termin� $f$ au 1. justement pour que $f'(2)=0$,
c'est-�-dire que $2$ soit une racine de $f$).
\bgmp{10cm}
On a alors le tableau de variation suivant,
qui montre que $f$ admet bien un maximum local en $x=1$, et
qui vaut $f(1)=5$.
\enmp\hfill
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $1$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\zb&$+$& \\\hline
&&&5&&&&\\
$f(x)$&& \psline{->}(-0.5,-0.4)(0.5,0.5)&&
\psline{->}(-0.5,0.5)(0.5,-0.4)&&
\psline{->}(-0.5,-0.4)(0.5,0.5)&\\
&&&&&4&&\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{-0.4cm}
\item On peut raisonner de (au moins) deux mani�res:
\bgit
\item $\Cf$ coupe l'axe des abscisses aux points $(x;0)$ tels que
$f(x)=0
\iff 2x^3-9x^2+12x=0
\iff x(2x^2-9x+12)=0
$, ainsi, soit $x=0$ (origine du rep�re),
soit $2x^2-9x+12=0$.
Ce trin�me a pour discriminant $\Delta=81-96<0$ et n'admet donc
pas de racine r�elle.
Ainsi, $f(x)=0\iff x=0$,
et $\Cf$ coupe l'axe des abscisses uniquement � l'origine.
\item D'apr�s le tableau de variation de $f$,
sur $]-\infty;1]$, $f$ est strictement croissante et $f(0)=0$ est
donc l'unique solution de l'�quation $f(x)=0$ sur $]-\infty;1]$,
d'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires.
Sur $[1;+\infty[$, $f$ a pour minimum global $4$, et donc,
pour tout $x\in[1;+\infty$, $f(x)\geqslant4>0$,
et l'�quation $f(x)=0$ ne peut donc pas avoir de solution.
En r�sum�, l'�quation $f(x)=0$ admet pour unique solution sur $\R$
$x=0$, et $\Cf$ coupe l'axe des abscisses uniquement en
l'origine.
\enit
%\item La droite $T$ a pour coefficient directeur $m=12$.
%
% Une tangente � $\Cf$ au point d'abscisse $x$ est donc parall�le �
% $T$ si et seulement si
% $f'(x)=12
% \iff 6x^2-18x+12=12
% \iff 6x(x-3)=0
% \iff \Bigl( x=0 \text{ ou } x=3\Bigr)$.
%
% On a $f(3)=9$, et donc $\Cf$ admet une seule autre tangente
% parall�le � $T$, sa tangente au point $D(3;9)$.
\enen
\enex
%\clearpage
\bgex
\bgen
\item
$M$ prend la valeur $f(1)=9$,
$X$ prend la valeur $1$.
\ul{Pour $I=2$},
$Y$ prend la valeur $f(2)=6$.
$M=9>Y=6$, donc $M$ prend la valeur $6$,
$X$ prend la valeur $2$,
et on affiche \fbox{$6$}.
%\clearpage
\ul{Pour $I=3$},
$Y$ prend la valeur $f(3)=3+\dfrac{8}{3}=\dfrac{17}{3}\simeq 5,66$.
$M=6>Y=\dfrac{17}{3}$, donc $M$ prend la valeur $\dfrac{17}{3}$,
$X$ prend la valeur $3$,
et on affiche \fbox{$\dfrac{17}{3}$}.
\ul{Pour $I=4$},
$Y$ prend la valeur $f(4)=6$.
$M=\dfrac{17}{3}<Y=6$:
la condition n'est pas vraie, et on ne change donc pas la valeur de
$M$ ni de $X$.
\ul{Pour $I=5$},
$Y$ prend la valeur $f(5)=\dfrac{33}{5}= 6,6$.
$M=\dfrac{17}{3}<Y=6,6$:
la condition n'est pas vraie, et on ne change pas la valeur de $M$
ni de $X$.
Finalement, on affiche les valeurs de $X$ et $M$, soit
\fbox{$3$\ ,\ \ $\dfrac{17}{3}$}.
\vspd
Cet algorithme permet de calculer et d'afficher la plus petite
valeur prise par $f(x)$ lorsque $x$ est un entier compris entre $1$
et $5$, et la valeur de $x$ correspondante:
c'est le co�t de fabrication minimal.
\vspd
\item \ \vspace{-0.9cm}
\bgmp{11.5cm}
On peut �tudier les variations de la fonction $f$ d�finie sur
$[1;5]$.
$f$ est d�rivable sur $[1;5]$ avec,
pour tout $x\in[1;5]$,
$f'(x)=1-\dfrac{8}{x^2}=\dfrac{x^2-8}{x^2}$.
Le trin�me du $2^{\text{nd}}$ degr� du num�rateur admet deux
racines:
$x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ et $x=-2\sqrt{2}$.
\enmp\hfill
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $1$ &&$2\sqrt{2}$&& $5$ \\\hline
$x^2-8$ &&$-$&\zb&$+$&\\\hline
$x^2$ &&&$+$&&\\\hline
$f'(x)$ &&$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&&&\\
$f$&&\psline{->}(-0.5,0.5)(0.5,-0.5)&&
\psline{->}(-0.5,-0.5)(0.5,0.5)&\\
&&&$4\sqrt{2}$&&\\\hline
\end{tabular}
Le minimum de $f$ sur $[1;5]$ est
$f(2\sqrt{2})=2\sqrt{2}+\dfrac{8}{2\sqrt{2}}
=4\sqrt{2}$,
atteint pour $x=2\sqrt{2}\simeq 2,8284$,
soit pour $2\,828$ ou $2\,829$ objets.
On a de plus $f(2,828)<f(2,829)$,
et donc le minimum est atteint pour $2\,828$ objets.
\vspace{-0.3cm}
\bgmp{10cm}
{\sl\ul{Remarque:} Comme on cherche un nombre {\bf entier}, compris
entre 1000 et 5000,
on aurait aussi pu modifier l'algorithme pr�c�dent,
de mani�re � tester toutes les possibilit�s
(car c'est ici effectivement possible, il y a ici
4001 valeurs).
}
\enmp\hfill
\bgmp{5.8cm}
\fbox{
\bgmp{5.5cm}
$M$ prend la valeur $f(1)$ \\
%X$ prend la valeur $1000$\\
Pour $I$ allant de $1001$ � $5000$ \\
%\hspace*{0.5cm}$J$ prend la valeur $I/1000$\\
\hspace*{0.5cm}$Y$ prend la valeur $f(J/1000)$\\
\hspace*{0.5cm}Si $M>Y$ \\
\hspace*{1cm}$M$ prend la valeur $Y$\\
\hspace*{1cm}$X$ prend la valeur $I$\\
\hspace*{0.5cm}Fin\\
Fin\\
Afficher $X$, $M$
\enmp
}
\enmp
\enen
\enex
\vspace{-0.9cm}
\bgex
%n appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0;+\infty[$ par
%f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.
\vspace{-0.2cm}
\bgen
\item Pour tout $x>0$,
$f'(x)
=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2}
=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigl((x+1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}\Bigr)}{(x+1)^2}
=\dfrac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
$
\item \ \vspace{-0.5cm}
\bgmp{11cm}
Pour tout $x>0$, $(1+x)^2>0$ et $\sqrt{x}>0$.
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $-x+1$:
D'apr\`es le tableau de variation de $f$,
pour tout $x\geqslant 0$,
$0\leqslant f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\leqslant \dfrac{1}{2}$,
d'o\`u, en multipliant par $1+x>0$,
$0\leqslant \sqrt{x}\leqslant \dfrac{1}{2}(1+x)$.
\enmp\hfill
%\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$& $0$ & & $1$ & & $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ & \db & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
&&&$\frac{1}{2}$&& \\
$f(x)$ & & \Large{$\nearrow$} &
& \Large{$\searrow$} & \\
&0&& && \\\hline
\end{tabular}
%\enmp
\item La fonction $f$ est d\'erivable sur $]0;1]$,
strictement croissante sur $[0;1]$ avec
$f(0)=0<\dfrac{1}{10}$ et $f(1)=\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{10}$.
Ainsi, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires,
il existe un unique r\'eel $\alpha\in[0;1]$ tel que
$f(\alpha)=\dfrac{1}{10}$.
La calculatrice donne
$f(0,01)\simeq 0,099<\dfrac{1}{10}$
et $f(0,02)\simeq 0,13>\dfrac{1}{10}$.
Ainsi, $0,01\leq \alpha < 0,02$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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