Suites récurrentes - Bac Amérique du nord 2013

Calculs à l'aide d'un algorithme et d'une suite intermédiaire logarithmique


On considère la suite $\left( u_n\rp définie par $u_0=1 et, pour tout entier naturel $n,
u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.


  1. On considère l'algorithme suivant:
    Variables:n est un entier naturel
    u est un réel positif

    Initialisation: Demander la valeur de n
    Affecter à u la valeur 1

    Traitement: Pour i variant de 1 à n:
     —  Affecter à u la valeur √2u
    Fin de Pour

    Sortie:Afficher u
    1. Donner une valeur approchée à 10-4 près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n=3.
    2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n.

      \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline $n$&1&5&10&15&20\\\hline Valeur affich\'ee&1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\\hline \end{tabular}

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right) ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right).
    3. Démontrer que la suite $\left( u_n\rp est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  3. On considère la suite $\left( v_n\rp définie, pour tout entier naturel $n, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2.
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2} et de premier terme $v_0=-\ln 2.
    2. Déterminer, pour tout entier naturel $n, l'expression de $v_{n} en fonction de $n, puis de $u_{n} en fonction de $n.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left( u_n\rp.
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n telle que $u_n>1,999.
      Variables:n est un entier naturel
      u est un réel

      Initialisation: Affecter à n la valeur 0
      Affecter à u la valeur 1

      Traitement:

      Sortie:


Voir aussi:
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