Suite récurrente, construciton graphique, somme et algorithme

Bac S - Nouvelle Calédonie 2014


On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0~;~+ \infty[ par
f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.


On admettra que f est dérivable sur l'intervalle [0~;~+ \infty[.
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe \mathcal{C} représentative de f ainsi que la droite \mathcal{D} d'équation y=x.


  1. Démontrer que $f est croissante sur l'intervalle [0~;~+ \infty[.
  2. Résoudre l'équation $f(x) = x sur l'intervalle [0~;~+ \infty[. On note \alpha la solution.
    On donnera la valeur exacte de \alpha puis on en donnera une valeur approchée à 10^{-2} près.
  3. On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_0 = 1 et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1} = f\left(u_n\right).
    Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbe \mathcal{C} et la droite \mathcal{D}, placer les points $M_0, $M_1 et $M_2 d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0, $u_1 et $u_2.
    Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite \lp u_n\rp ?
    1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n,
      0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha

      où $\alpha est le réel défini dans la question 2.
    2. Peut-on affirmer que la suite $\left( u_n\rp est convergente ? On justifiera la réponse.
  5. Pour tout entier naturel n, on définit la suite $\left(S_n\right) par
    S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.


    1. Calculer $S_0, $S_1 et $S_2. Donner une valeur approchée des résultats à 10^{-2} près.
    2. Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme $S_n pour la valeur de l'entier n demandée à l'utilisateur.
    3. Montrer que la suite $\left( S_n\rp diverge vers +\infty.

Annexe 1 à rendre avec la copie




\psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}


Annexe 2 à rendre avec la copie


Entrée:n un entier naturel

Variables:u et s sont des variables réelles
n et i sont des variables entières

Initialisation: u prend la valeur 1
s prend la valeur u
i prend la valeur 0
Demander la valeur de n

Traitement: Tant que ...
Affecter à i la valeur i+1
Affecter à u la valeur ...
Affecter à s la valeur ...
Fin Tant que

Sortie:Afficher s


Voir aussi:
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