Suites récurrentes - Construction graphique
Un exercice complet, classique, corrigé et détaillé
Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier n, un+1 = 6 − 5un + 1 .
La suite (un) est définie par récurrence, c'est-à-dire que chaque terme de la suite est défini à partir du précédent:
- u1 = 6 − 5u0 + 1 : u0 est défini à partir de de u1
- u2 = 6 − 5u1 + 1 : u2 est défini à partir de de u1
- u3 = 6 − 5u2 + 1 : u3 est défini à partir de de u2
- …
On a donc un+1 = f (un) avec la fonction f définie sur R \ {−1} par l'expression
f (x) = 6 −
5x + 1 .
Un plan général pour l'étude d'une telle suite récurrente est généralement:
- Etude de la fonction f (sens de variation …)
- Représentation graphique des premiers termes de la suite.
On peut alors "voir", et ainsi conjecturer, le comportement, la limite et certaines propriétés de la suite: son sens de variation, sa convergence et sa limite, influence de la valeur du premier terme u0. - Étude plus précise de la suite:
on démontre alors les conjectures émises grâce au graphique.
Sens de variation de la suite ? la suite est-elle bornée ou non ? seulement minorée ou majorée ? Détermination des limites éventuelles de la suite (points fixes), et étude de la convergence.
Exercice
Soit la suite (un) définie par
u0 = 1 et, pour tout entier n,
un+1 = 6 −
5un + 1 .
On définit la fonction f sur ]−1;+∞[ par l'expression f (x) = 6 − 5x + 1 , et on note Cf sa courbe dans un repère orthogonal du plan.
- Étudier le sens de variation de f sur ]−1;+∞[.
- Tracer l'allure de la courbe Cf et construire graphiquement, sur l'axe des abscisses, les premiers termes
u0,
u1,
u2 et
u3
de la suite (un).
Quelles conjectures peut-on faire sur la suite (un) ?
- Résoudre l'équation x = f (x) .
On notera α la solution positive de cette équation.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, on a
0 < un < un+1 < α.
Que peut-on en déduire quant à la suite (un) ? - Montrer que la suite (un) est convergente.
Préciser sa limite.