Traceur de courbes

Traceur de courbes de fonctions et calculatrice graphique

Saisie d'une fonction

En cliquant sur l'expression de la fonction, l'éditeur "texte" apparaît. On saisit alors l'expression de la fonction, usuellement, avec x comme inconnue, * et / pour la multiplication et la division, ˆ pour la puissance, et les fonctions usuelles cos, sin, tan, ln, log, exp (ou , e^(…)), abs (… ) (valeur absolue),

Paramètres et choix de l'affichage

L'onglet configuration

permet de choisir un certain nombre de paramètres.

Courbes

Courbe de la fonction et nombre de points

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble de points: C_f = { M (x ; y ) tel que y = f (x) } Comme toute calculatrice numérique, on trace ici non pas, bien sûr, une infinité de points, mais un certain nombre fini. Par défaut la calculatrice calcule pour 500 abscisses x_i les valeurs des images y_i = f(x_i) correspondantes et trace ces points (x_i, y_i).
Si le nombre de points est suffisant, on y voit une courbe, sinon on voit bien la succession discrète de points. Il suffit de changer, d'adapter ce nombre de points à loisir.

Courbe de la dérivée

La valeur de la dérivée en un point est approximée par la formule centrée: f ' (x) ≈ f (x + h) − f (x − h)/h

Courbe de la dérivée seconde

La valeur de la dérivée en un point est approximée par la formule centrée: f '' (x) ≈ f (x + h) + f (x − h) − 2f (x)/2h

Suites numériques

La calculatrice permet de tracer les points d'une suite, pour une suite définie explicitement par son expression en fonction de n ou pour une suite récurrente.

Suite définie explicitement

Il suffit de cocher la case correspondante et de choisir éventuellement le rang du premier terme de la suite.

Suite récurrente

La calculatrice permet d'afficher la construction des points successifs d'une suite récurrente.
Il suffit de cocher la case correspondante et de définir la valeur initiale de la suite.

Étude locale: tangentes et sécantes

En sélectionnant la case "Étude locale au point A", d'autres options se présentent: tracer la tangente au point donné. Ce point peut aussi être déplacé interactivement sur le graphique, et tracer une sécante entre ce point et un autre.
On observe ainsi, en un point ou la fonction est dérivable, que lorsque les deux se rapprochent l'un de l'autre, à la limite, la sécante tend vers la tangente.

Intégrale: méthode numérique pour le calcul approché d'intégrales

La formule, ou méthode, de Simpson permet le calcul approché d'une intégrale ∫ _a ^b f (x) dx . C'est une méthode de calcul repose sur le découpage de l'intervalle [a ; b] en N subdivisions [x_i ; x_i+1], puis sur chacun de ces intervalles la fonction est interpolée par un polynôme de degré 2.
Enfin, on calcule l'intégrale (assez simple) de ces polynômes à la place de f.
Cette méthode est d'ordre 4, c'est-à-dire que l'erreur commise par cette approximation varie comme 1/N⁴, ou encore, par conséquent, que si on fait 10 fois plus de calculs en utilisant 10 fois plus de points x_i, alors l'erreur est divisée par 10⁴=10 000.
C'est une des méthodes les plus utilisées sur les calculatrices et logiciels de calcul scientifique, étant à la fois très précise et simple à mettre en œuvre.
Pour des éléments plus détaillés sur les méthodes numériques de calcul approché d'intégrales, voir aussi par exemple ce cours sur l'intégration numérique: méthodes des rectangles, des trapèzes et méthode de Simpson, ou encore cette page sur les méthodes et programmes en Python.

Notes de programmation

Toute l'application est programmée en javascript. Les éléments graphiques sont tracés dans un canvas.
L'affichage de la fonction étudiée se veut "esthétique", pour les fractions, puissances, exposants, ... Voir à cette fin la page écrire des maths en html/css.

Calculs

L'onglet calculs

propose quelques calculs sur la fonction:

Résolution des équations f (x) = k, où on peut bien sûr choisir à loisir la valeur du second membre k.
La représentation graphique de la résolution est aussi tracée.
Recherche de point fixe pour la fonction, c'est-à-dire les solutions de l'équation f(x) = x.
Ces points fixes donnent, entre autre, l'eventuelle limite (si elle converge) d'une suite récurrente.
Recherche d'un point d'inflexion: ce sont les solutions valeurs pour lesquelles la dérivée seconde s'annule en changeant de signe
Calcul approché d'intégrales, voir la partie sur le calcul numérique d'intégrales

Traceur de courbes représentatives