Calcul approché d'intégrale

Méthodes des rectangles et des trapèzes

Méthode des rectangles

Exercice 1:

Calculer l'aire exacte de la surface ci-dessus et comparer avec l'approximation donnée.

Solution

L'aire est celle du domaine compris entre les droites (verticales) d'équations

, et entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction

définie par l'expression

Une primitive de cette fonction est donnée par l'expression

$F(x)=\dfrac14x^4-\dfrac23x^3+2x$ .

$\begin{array}{ll}\dsp\int_0^2 f(x)dx &=\dsp\int_0^2 \left( x^3-2x^2+2 \right) dx \\&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^2 \\&=F(2)-F(0)\enar$

avec

$\begin{array}{ll}F(2)&=\dfrac14\tm2^4-\dfrac23\tm2^3+2\tm2\\&=4-\dfrac{2^4}3+4=\dfrac{8}3\enar$

$F(0)=0$

ce qui nous donne donc l'aire

$\int_0^2 f(x)dx=\dfrac83\simeq2,666\dots$

Exercice 2:

Compléter le programme suivant pour qu'il calcule, et affiche, une valeur approchée de l'intégrale par la méthode des rectangles.

def f(x):
    return x**3-2*x**2+2

a=0
b=2
n=int(input("Saisir n: "))
dx= ... 
S=0
for k in range(n):
    x= ... 
    S=S+ f( ... ) * dx
print("Valeur approchée:")
print(S)

Exécuter ce programme pour différentes valeurs de n et observer la vitesse de convergence de cet algorithme.

Exercice 3:

Exercice Bac S 2015: Pentes dans un skateparc, et surface à peindre.

Méthodes des trapèzes

Exercice 4:

Rappeler l'aire d'un trapèze et modifier le programme précédent pour calculer maintenant une valeur approchée de l'intégrale avec la méthode des trapèzes.
Comparer la vitesse de convergence des deux méthodes: quelle est l'erreur commise pour chaque méthode et n=10, n=100, n=1000, ... ?

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