Tortues des Galapagos
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Couples de variables aléatoiresCouples de variables aléatoires
Énoncé du sujet
Soit un entier naturel non nul.
Une tortue des Galapagos pond oeufs qu'elle enfouit dans le sable d'une île. Les oeufs ont (indépendamment les uns des autres) une probabilité d'éclore et les bébés tortues qui naissent ont (de manière indépendante) une probabilité q d'être des bébés tortues mâles. On pose la variable aléatoire désignant le nombre de bébés tortues mâles qui naissent et le nombre de tortues femelles qui naissent.
Une tortue des Galapagos pond oeufs qu'elle enfouit dans le sable d'une île. Les oeufs ont (indépendamment les uns des autres) une probabilité d'éclore et les bébés tortues qui naissent ont (de manière indépendante) une probabilité q d'être des bébés tortues mâles. On pose la variable aléatoire désignant le nombre de bébés tortues mâles qui naissent et le nombre de tortues femelles qui naissent.
- Donner les lois des variables , , .
-
- Les variables et sont-elles indépendantes ?
- Calculer la covariance de et .
- On pose maintenant suivant une loi de Poisson de paramètre .
Les autres hypothèses restent inchangées.
- Calculer la loi de .
- Calculer la covariance de et .
- Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes ?
Correction
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019- Un bébé mâle nait avec la probailité .
est égal au nombre de succès (bébé mâle) dans une répétition de expériences aléatoires indépendantes.
La loi de est donc la loi binomiale de paramètres et .
De même suit la loi binomiale de paramètres et .
Enfin, désigne le nombre d'œ ufs qui éclosent, et suit donc la loi binomiale de paramètres et . -
- Les variables et ne sont pas indépendantes.
Par exemple,
-
où
- Les variables et ne sont pas indépendantes.
Par exemple,
-
- On a alors
soit, en effectuant un changement d'indice dans la somme pour faire apparaître la série exponentielle:
qui est l'expression d'une loi de Poisson de paramètre .
- Pour la loi de Poisson de paramètre , l'espérance et la variance sont égales à .
La variable aléatoire suit aussi une loi de Poisson de paramètre , et la variable est de paramètre , d'où
- Pour deux entiers et , on a
Par ailleurs, d'après 3.a),
ce qui montre maintenant que les variables et sont indépendantes.
- On a alors
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