Tortues des Galapagos


Soit $N$ un entier naturel non nul.
Une tortue des Galapagos pond $N$ oeufs qu'elle enfouit dans le sable d'une île. Les oeufs ont (indépendamment les uns des autres) une probabilité $p\in]0, 1[$ d'éclore et les bébés tortues qui naissent ont (de manière indépendante) une probabilité q d'être des bébés tortues mâles. On pose $M$ la variable aléatoire désignant le nombre de bébés tortues mâles qui naissent et $F$ le nombre de tortues femelles qui naissent.
  1. Donner les lois des variables $M$ , $F$ , $M+F$.
    1. Les variables $M$ et $F$ sont-elles indépendantes ?
    2. Calculer la covariance de $M$ et $F$.
  2. On pose maintenant $N$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Les autres hypothèses restent inchangées.
    1. Calculer la loi de $M$ .
    2. Calculer la covariance de $M$ et $F$ .
    3. Les variables aléatoires $M$ et $F$ sont-elles indépendantes ?


Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019

  1. Un bébé mâle nait avec la probailité $pq$.
    $M$ est égal au nombre de succès (bébé mâle) dans une répétition de $N$ expériences aléatoires indépendantes.
    La loi de $M$ est donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $pq$.
    De même $F$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p(1-q)$.
    Enfin, $M+F$ désigne le nombre d'œ ufs qui éclosent, et suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p$.
    1. Les variables $M$ et $F=N-M$ ne sont pas indépendantes. Par exemple,
      \[P(M=N\cap F=N)=0\not=P(M=N)\,P(F=N)\]


    2. \[cov(M,F)=\dfrac12\left( V(M+F)-V(F)-V(M)\rp\]


      \[\begin{array}{lcl}
    V(M+F)&=&Np(1-p)\\
    V(F)&=&Np(1-q)(1-p(1-q))\\
    V(M)&=&Npq(1-pq)
    \enar\]

    1. On a alors
      \[\begin{array}{lcl}P(M=k)&=&\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} P(N=n\cap M=k)\\
    &=&\dsp\sum_{n=k}^{+\infty} P(N=n\cap M=k)\\
    &=&\dsp\sum_{n=k}^{+\infty} P(M=k|N=n)\,P(N=n) \\
    &=&\dsp\sum_{n=k}^{+\infty}\binom{n}{k}(pq)^k(1-pq)^{n-k}\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}\\
    &=&\displaystyle e^{-\lambda}\left( pq\rp^k\sum_{n=k}^{+\infty}
    \dfrac{\lambda^n(1-pq)^{n-k}}{k!(n-k)!}\\[1.6em]
    &=&\displaystyle e^{-\lambda}\dfrac{\left( pq\rp^k}{k!\lambda^k}
      \sum_{n=k}^{+\infty}
    \dfrac{\bigl(\lambda(1-pq)\bigr)^{n-k}}{(n-k)!}\\[1.6em]
    \enar\]

      soit, en effectuant un changement d'indice dans la somme pour faire apparaître la série exponentielle:
      \[\begin{array}{lcl}P(M=k)&=&
    \displaystyle e^{-\lambda}\dfrac{\lp\lambda pq\rp^k}{k!}
      \sum_{n=0}^{+\infty}
    \dfrac{\bigl(\lambda(1-pq)\bigr)^n}{n!}\\[1.6em]
    &=&\displaystyle e^{-\lambda}\dfrac{\lp\lambda pq\rp^k}{k!}
    e^{\lambda(1-pq)}\\
    &=&e^{-\lambda pq}\dfrac{\lp\lambda pq\rp^k}{k!}
    \enar\]

      qui est l'expression d'une loi de Poisson de paramètre $\lambda pq$.
    2. Pour la loi de Poisson de paramètre $\mu$, l'espérance et la variance sont égales à $\mu$.
      La variable aléatoire $F$ suit aussi une loi de Poisson de paramètre $\lambda p(1-q)$, et la variable $M+F$ est de paramètre $\lambda p$, d'où
      \[\begin{array}{lcl}cov(M,F)&=&\dfrac12\bigl( V(M+F)-V(F)-V(M)\bigr)\\[1em]
    &=&\dfrac12\bigl( \lambda p-\lambda p(1-q)-\lambda pq \bigr)
    =0
    \enar\]

    3. Pour deux entiers $a$ et $b$, on a
      \[\begin{array}{lcl}P(M=a\cap F=b)
    &=&\dsp\sum_{n=a+b}^{+\infty}P(M=a\cap F=b\cap N=n)\\
    &&\hspace*{-8em}=\dsp\sum_{n=a+b}^{+\infty}P(M=a\cap F=b | N=n)\,P(N=n)\\
    &&\hspace*{-8em}=\dsp\sum_{n=a+b}^{+\infty}P(M=a)P(F=b|M=a)\,P(N=n)\\
    &&\hspace*{-8em}=\dsp\sum_{n=a+b}^{+\infty}
    \binom{n}{a}(pq)^a(1-pq)^{n-a}
    \binom{n-a}{b}(p(1-q))^b(1-p(1-q))^{n-a-b}
    \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!} \\
    &&\hspace*{-8em}=
    e^{-\lambda}(pq)^a(p(1-q))^b\dfrac{\lambda^{a+b}}{a!\,b!}
    \dsp\sum_{n=a+b}^{+\infty}
    \dfrac{(1-p(1-q))^{n-a-b}\lambda^{n-a-b}}{(n-a-b)!}\\
    &&\hspace*{-8em}=
    e^{-\lambda}(pq)^a(p(1-q))^b\dfrac{\lambda^{a+b}}{a!\,b!}
    e^{\lambda(1-p(1-q))}
    \enar\]


      Par ailleurs, d'après 3.a),
      \[\begin{array}{lcl}P(M=a)P(F=b)
    &=&e^{-\lambda pq}\dfrac{\lp\lambda pq\rp^a}{a!}
    e^{-\lambda p(1-q)}\dfrac{\lp\lambda p(1-q)\rp^b}{b!}\\[1em]
    &=&e^{-\lambda p}(\lambda p)^{a+b}\dfrac{q^a(1-q)^b}{a!\,b!}
    \enar\]

      ce qui montre maintenant que les variables $M$ et $F$ sont indépendantes.


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Tag:Couples de variables aléatoires

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