Somme télescopique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SommesSommes des termes d'une suite
Énoncé du sujet
Montrer que la suite définie par
![\[S_n=\sum_{k=2}^n\lp\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac2{\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt{k+1}}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ST/1.png)
est convergente, et calculer sa somme
est convergente, et calculer sa somme
Correction
![\[\begin{array}{lcl}
S_n&=&\dsp\sum_{k=2}^n \lp\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac2{\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt{k+1}}\rp\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}-2\sum_{k=2}^n\dfrac1{\sqrt k}+\sum_{k=3}^{n+1} \dfrac1{\sqrt{k}}\\[1.2em]
&=&1-\dfrac1{\sqrt 2}-\dfrac1{\sqrt n}+\dfrac1{\sqrt{n+1}}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ST_c/1.png)
On trouve ainsi que cette suite converge, avec
![\[\lim_{n\to+\infty}S_n=1-\dfrac1{\sqrt2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ST_c/2.png)
Correction
Il s'agit d'une somme télescopique:On trouve ainsi que cette suite converge, avec
Tag:Sommes
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