Séries à partir d'une suite implicite


Oral ESCP, BL - 2021
  1. Soit $a$ un réel positif ou nul. Pour tout $n\in\N^*$, on considère l'équation d'inconnue $x$ réel
    \[x^n+n^ax-1=0\]

    Montrer que cette équation admet une seule solution sur $\R_+^*$. On la note $x_n$.
  2. Étudier la convergence de la suite $(x_n)$.
  3. On suppose $a>0$.
    1. Montrer que $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{x_n}{1/n^a}=1$
    2. Soit $b>0$. Étudier la convergence des séries suivantes:
      $\dsp\sum x_n$, $\dsp\sum \ln(x_n)$, $\dsp\sum \ln\left( 1+x_n^b\rp$, et $\dsp\sum \ln\left( x_n-\dfrac1{n^\alpha}\rp$

Correction
Oral ESCP, BL - 2021
  1. Soit $f_n:x\mapsto x^n+n^ax-1$, définie et dérivable sur $\R$ (et même infoiniment dérivable, c'est un polynôme), avec $f_n'(x)=nx^{n-1}+n^a>0$ sur $\R_+$.
    on en déduit que $f_n$ est strictement croissante sur $\R_+$, avec $f_n(0)=-1<0$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}f_n(x)=+\infty$.
    $f_n$ est donc une bijection de $\R_+$ sur $[-1;+\infty[$ et en particulier il existe un unique réel $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$.
  2. On peut chercher un encadrement de $x_n$. On a donc $x_n>0$ d'une part. Par ailleurs, on a $f_n(1)=n^a>0$ d'où $x_n<1$, et donc, pour tout entier $n$,
    \[0<x_n<1\]

    La suite $(x_n)$ est donc bornée, mais cet encadrement est encore un peu trop large pour conclure à la convergence.
    On a de plus, par définition,
    \[x_n^n+n^ax_n-1=0
      \iff x_n=\dfrac{1-x_n^n}{n^a}\]

    d'où on tire, comme $x_n>0$,
    \[0<x_n<\dfrac1{n^a}\]

    et ainsi, d'après le théorème des gendarmes, pour $a>0$, on trouve
    \[\lim_{n\to+\infty}x_n=0\]


    1. On a vus que
      \[x_n=\dfrac{1-x_n^n}{n^a}\iff \dfrac{x_n}{1/n^a}=1-x_n^n\]

      et, comme $x_n\to0$, on a aussi $x_n^n\to0$, ce qui montre bien que
      \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{x_n}{1/n^a}=1\]

      c'est-à-dire que
      \[x_n\sim\dfrac1{n^a}\]


    2. D'après le résultat précédent, on en déduit que la série $\sum x_n$ est de même nature que la série de Riemann $\sum\dfrac1{n^a}$ et est donc convergente si et seulement si $a>1$.

      Comme $\ln(x_n)\sim-a\ln(n)$, la série $\sum\ln(x_n)$ diverge grossièrement.

      Pour $b>0$, on a $x_n^b\to0$ et donc $\ln(1+x_n^b)\sim\dfrac1{n^{ab}}$ est le terme général d'une série convergente si et seulement si $ab>1$.

      On a
      \[\left|x_n-\dfrac1{n^a}\right|=\dfrac{x_n^n}{n^a}\leqslant\dfrac1{n^a}\]

      et la série converge encore lorsque $a>1$.
      Elle converge en fait là aussi pour $a<1$ car on a majoré trop fortement le $x_n^n$ qui tend luis aussi vers 0.
      Plus précisément, comme $x_n\to0$, à partir d'un certain rang on a, par exemple, $x_n<1/2$, et alors
      \[\dfrac{x_n^n}{n^a}<\dfrac1{2^n}\]

      majoration par le terme général d'une série géométrique convergente.
      Finalement, cette dernière série converge indépendamment de $a$.


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