Réunion de deux sous-espaces vectoriels
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
et
deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel
.
Montrer que
.
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1/1.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1/2.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1/3.png)
![$\Bigl( F\cup G \text{ sous-espace vectoriel de } E\Bigr)\iff\Bigl( F\subset G \text{ ou } G\subset F\Bigr)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1/4.png)
Correction
alors
, et
si
alors
et donc,
comme
et
sont des sous-espaces vectoriels,
l'inclusion d'un des sous-espaces dans l'autre suffit
à ce que la réunion des deux soit aussi un sous-espace vectoriel.
Montrons maintenant que c'est aussi nécessaire.
Supposons donc que
est un sous-espace vectoriel,
et que, par exemple,
n'est pas inclus dans
et
n'est pas inclus dans
.
Il existe alors
,
et
,
.
On a alors
car
est un sous-espace vectoriel et que
et
.
On a donc
ou
.
Mais, si
, alors
ce qui est contradictoire,
et si
, alors
ce qui est aussi contradictoire.
On a donc montré que, si
est un sous-espace vectoriel, alors
nécessairement un de ces deux sous-espaces est inclus dans l'autre.
Correction
Si![$F\subset G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/1.png)
![$F\cup G=G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/2.png)
![$G\subset F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/3.png)
![$F\cup G=F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/4.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/5.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/6.png)
Montrons maintenant que c'est aussi nécessaire.
Supposons donc que
![$F\cup G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/7.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/8.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/9.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/10.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/11.png)
Il existe alors
![$x\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/12.png)
![$x\notin G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/13.png)
![$y\in G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/14.png)
![$y\notin F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/15.png)
On a alors
![$x+y\in F\cup G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/16.png)
![$F\cup G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/17.png)
![$x\in F\cup G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/18.png)
![$y\in F\cup G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/19.png)
On a donc
![$x+y\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/20.png)
![$x+y\inG$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/21.png)
![$x+y\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/22.png)
![$y=(x+y)-x\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/23.png)
![$x+y\in G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/24.png)
![$x=(x+y)-y\in G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/25.png)
On a donc montré que, si
![$F\cup G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex1_c/26.png)
Tag:Espace vectoriel
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