Rayon de convergence
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
![$\dsp\sum_{n\geq 1}\ln\left(1+\sin\frac1n\right)x^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9/1.png)
Correction
![\[a_n\sim \dfrac1n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9_c/1.png)
d'où
![\[|a_nz^n|\sim \frac{|z|^n}{n}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9_c/2.png)
La suite
est donc bornée
si et seulement si
. Le rayon de convergence de la série est 1.
Correction
En effectuant un développement limité, on trouve que![\[a_n\sim \dfrac1n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9_c/1.png)
d'où
![\[|a_nz^n|\sim \frac{|z|^n}{n}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9_c/2.png)
La suite
![$(|a_nz^n|)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9_c/3.png)
![$|z|\leq 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC9_c/4.png)
Tag:Séries entières
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