Rayon de convergence
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Étudier la convergence de la série
.
![$\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n!}{n^n}z^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14/1.png)
Correction
,
alors
![\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=
\dfrac{(n+1)!\,z^{n1}}{(n+1)^{n+1}}
\tm\dfrac{n^n}{n!\,z^n}
=z\lp\dfrac{n}{n+1}\rp^n
=ze^{n\ln\lp\dfrac{n}{n+1}\right)}
=ze^{-n\ln\lp1+\dfrac1n\right)}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/2.png)
Or, pour
,
, et, au 1er ordre,
.
Ainsi,
et la série est convergente pour
.
En d'autres termes, le rayon de convergence de cette série entière est
.
Correction
Soit![$a_n=\dfrac{n!}{n^n}z^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/1.png)
![\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=
\dfrac{(n+1)!\,z^{n1}}{(n+1)^{n+1}}
\tm\dfrac{n^n}{n!\,z^n}
=z\lp\dfrac{n}{n+1}\rp^n
=ze^{n\ln\lp\dfrac{n}{n+1}\right)}
=ze^{-n\ln\lp1+\dfrac1n\right)}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/2.png)
Or, pour
![$n\to+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/3.png)
![$\dfrac1n\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/4.png)
![$-n\ln\lp1+\dfrac1n\rp=-n\lp\dfrac1n+o\lp\dfrac1n\rp\rp=-1+o(1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/5.png)
Ainsi,
![$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to ze^{-1}=\dfrac{z}{e}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/6.png)
![$|z|<e$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/7.png)
En d'autres termes, le rayon de convergence de cette série entière est
![$e$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/8.png)
Tag:Séries entières
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)