Rang et diagonalisabilité d'une matrice nilpotente d'indice 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ une matrice non nulle et nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire telle que

Donner une relation d'inclusion entre $\text{Ker}(A)$ et $\text{Im}(A)$ et en déduire que $\text{rg}(A)\leqslant\dfrac{n}2$ .
Quelles sont les valeurs propres de ? est-elle diagonalisable ?

Correction

Soit $y\in\text{Im}(A)$ , alors il existe $x\in\R^n$ tel que et donc , d'où $y\in\text{Ker}(A)$ .
On vient ainsi de montrer que $\text{Im}(A)\subset\text{Ker}(A)$ .

On en déduit en particulier que $\text{dim}\lp\text{Im}(A)\rp=\text{rg}(A) \leqslant\text{dim}\lp\text{Ker}(A)\rp$ . Le théorème du rang nous donne par ailleurs que $\text{rg}(A)+\text{dim}\lp\text{Ker}(A)\rp=n$
et donc $n=\text{rg}(A)+\text{dim}\lp\text{Ker}(A)\right) \geqslant\text{rg}(A)+\text{rg}(A)=2\text{rg}(A)$ . On en déduit donc que $\text{rg}(A)\leqslant\dfrac{n}2$ .
Soit $\lambda$ une valeur propre de . Il existe alors $x\in\R^n$ , $x\not=0$ , tel que $Ax=\lambda x$ .
On obtient alors que $A^2x=\lambda Ax=\lambda^2x$ et donc que $\lambda^2=0$ , soit $\lambda=0$ : la seule valeur propre possible pour est .

Si était diagonalisable, serait semblable à la matrice nulle (la matrice diagonale avec que des valeurs nulles dans la diagonale...), et donc serait nulle, ce qui n'est pas le cas.
n'est donc as diagonalisable.

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