Raccordement dérivable


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ dérivable vérifiant $f(0)=f(1)$ avec $f'$ continue en $0$ et en $1$. On définit $g$ sur $[0,1]$ par
\[g(x)=\la\begin{array}{lll} f(2x)&\text{ si }&0\leq x\leq\dfrac12\\ f(2x-1)&\text{ si }&\dfrac12\leqslant x\leq 1. \enar\right.\]

$g$ est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?


Correction

Correction

La fonction $g$ est continue et dérivable sur $]0,1/2[$ et sur $]1/2,1[$, comme composée de fonctions qui le sont: $f$, $x\mapsto2x$ et $x\mapsto2x-1$. Le seul problème est éventuellement en 1/2.
On a
\[\lim_{x\to \frac{1}2^-}g(x)=f(1)\]

et
\[\lim_{x\to \frac12^+}g(x)=f(0)\]

et, comme $f(0)=f(1)$, la fonction $g$ est donc continue en 1/2.

Pour $x<1/2$, on a
\[g'(x)=2f'(2x)\begin{minipage}[t]{4em}$\ \longrightarrow$\\\scriptsize$x\to \frac 12^-$\end{minipage} 2f'(1)\]

et donc, par le théorème de prolongement d'une dérivée, $g$ admet une dérivée à gauche en 1/2 égale à $2f'(1)$.
De même, pour $x>1/2$, on a
\[g'(x)=2f'(2x-1)\begin{minipage}[t]{4em}$\ \longrightarrow$\\\scriptsize$x\to \frac 12^+$\end{minipage} 2f'(0)\]

et donc, par le théorème de prolongement d'une dérivée, $g$ admet une dérivée à droite en 1/2 égale à $2f'(0)$.
Maintenant, la fonction $g$ est dérivable en 1/2 si et seulement si les dérivées à droite et à gauche sont égales, c'est-à-dire si et seulement $f'(1)=f'(0)$.


Tag:Dérivée

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