Nombre de racines de la dérivée d'un polynôme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Soit
la fonction définie sur
par
.
Démontrer que l'équation
admet exactement
trois solutions réelles distinctes.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1/2.png)
![$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1/3.png)
Démontrer que l'équation
![$f'(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1/4.png)
Correction
admet 4 racines évidentes:
.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur
,
et
, on obtient trois racines de
,
distinctes car elles appartiennent à des intervalles disjoints
,
et
.
Enfin, comme
est un polynôme de degré 4,
est un polynôme de degré 3.
Ainsi
admet au plus trois racines.
D'après ce qui précède,
admet donc exactement trois racines réelles.
Correction
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/1.png)
![$f(-1)=f(-2)=f(-3)=f(-4)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/2.png)
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur
![$[-2;-1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/3.png)
![$[-3;-2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/4.png)
![$[-4;-3]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/5.png)
![$f'(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/6.png)
![$]-2;-1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/7.png)
![$]-3;-2[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/8.png)
![$]-4;-3[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/9.png)
Enfin, comme
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/10.png)
![$f'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/11.png)
![$f'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/12.png)
D'après ce qui précède,
![$f'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR1_c/13.png)
Tags:DérivéeRolle - AF
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