Nombre de racines d'un polynôme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que le polynôme
, avec
et
réels,
admet au plus trois racines réelles distinctes.
![$P(x)=x^n+ax+b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2/1.png)
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2/2.png)
![$b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2/3.png)
Correction
possède
au moins quatre racines réelles distinctes:
,
,
et
.
Le théorème de Rolle appliqué à
sur les intervalles
,
et
montre que
admet alors au moins
trois racines
,
et
, respectivement dans les intervalles
,
et
.
Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont distinctes aussi.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles
et
, pour obtenir deux racines
et
distinctes.
Or,
n'admet pas deux racines distinctes.
doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.
Correction
Supposons au contraire que![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/1.png)
![$x_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/2.png)
![$x_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/3.png)
![$x_3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/4.png)
![$x_4$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/5.png)
Le théorème de Rolle appliqué à
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/6.png)
![$[x_1;x_2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/7.png)
![$[x_2;x_3]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/8.png)
![$[x_3;x_4]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/9.png)
![$P'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/10.png)
![$x_1'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/11.png)
![$x_2'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/12.png)
![$x_3'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/13.png)
![$]x_1;x_2[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/14.png)
![$]x_2;x_3[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/15.png)
![$]x_3;x_4[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/16.png)
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles
![$[x_1';x_2']$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/17.png)
![$[x_2';x_3']$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/18.png)
![$x_1](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/19.png)
![$x_2](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/20.png)
Or,
![$P](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/21.png)
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR2_c/22.png)
Tags:Rolle - AFPolynôme
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