Minimum de la norme d'une somme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
Énoncé du sujet
Soit
muni du produit scalaire canonique,
et
,
deux éléments de
.
Montrer que
et
sont orthogonaux si et seulement si
pour tout
.








Correction
![\[\|x+\lambda y\|^2=\|x\|^2+2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/1.png)
et donc
![\[\begin{array}{ll}\|x+\lambda y\|\geq\|x\|&\iff\|x+\lambda y\|^2\geq \|x\|^2\\[.6em]
&\iff2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/2.png)
Si
est orthogonal à
, donc
,
alors l'inégalité précédente est bien vérifiée pour tout
.
Réciproquement, si
![\[P(\lambda)=2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/7.png)
pour tout réel
,
alors le discriminant du polynôme du second degré
est négatif ou nul, soit
![\[\Delta=4\langle x,y\rangle^2\leq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/10.png)
Ceci n'est possible que si
, c'est-à-dire si
et
sont orthogonaux.
Correction
On a![\[\|x+\lambda y\|^2=\|x\|^2+2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/1.png)
et donc
![\[\begin{array}{ll}\|x+\lambda y\|\geq\|x\|&\iff\|x+\lambda y\|^2\geq \|x\|^2\\[.6em]
&\iff2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/2.png)
Si




Réciproquement, si
![\[P(\lambda)=2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/7.png)
pour tout réel


![\[\Delta=4\langle x,y\rangle^2\leq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/10.png)
Ceci n'est possible que si



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