Logarithme et produit télescopique


Montrer que la suite définie par
\[S_n=\sum_{n=2}^N\ln\lp1-\dfrac1{n^2}\rp\]

est convergente et cacluler sa somme.

Correction
On a
\[\sum_{n=2}^N\ln\lp1-\dfrac1{n^2}\right)
=\ln\lp\prod_{n=2}^N\lp1-\dfrac1{n^2}\rp\rp\]

avec le produit, qui s'avère télescopique après avoir écrit chaque terme sur une fraction et remarqué l'identité remarquable:
\[\begin{array}{ll}\dsp\prod_{n=2}^N\lp1-\dfrac1{n^2}\right)
&=\lp1-\dfrac1{2^2}\rp\lp1-\dfrac1{3^2}\rp\lp1-\dfrac1{4^2}\rp
\dots\lp1-\dfrac1{N^2}\rp\\[1em]
&=\dfrac{2^2-1}{2^2}\tm\dfrac{3^2-1}{3^2}\tm\dfrac{4^2-1}{4^2}\dots\tm\dfrac{N^2-1}{N^2}\\[1em]
&=\dfrac{1\tm3}{2^2}\tm\dfrac{2\tm4}{3^2}\tm\dfrac{3\tm5}{4^2}\tm\dots\tm\dfrac{(N-1)(N+1)}{N^2}\\[.8em]
&=\dfrac12\tm\dfrac{N+1}N
\enar\]

On obtient ainsi,
\[\sum_{n=2}^N\ln\lp1-\dfrac1{n^2}\rp=\ln\lp\dfrac{N+1}{2N}\rp\]

et donc
\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\lp1-\dfrac1{n^2}\right)
&=\dsp\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=2}^N\ln\lp1-\dfrac1{n^2}\rp\\[1.4em]
&=\ln\lp\dfrac12\rp=-\ln(2)\enar\]



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