Logarithme, encadrements et convergence d'un produit

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Montrer que, pour tout ,

$x-\dfrac{x^2}2<\ln(1+x)<x$
En déduire la limite de la suite de terme général

$u_n=\dsp\prod_{k=1}^n\lp1+\dfrac{k}{n^2}\rp$

Correction

Ces deux inégalités peuvent se montrer en étudiant les fonctions $f:x\mapsto\ln(1+x)-x$ et $g:x\mapsto\ln(1+x)-\left( x-\dfrac{x^2}2\rp$ .

$f'(x)=\dfrac1{1+x}-1=\dfrac{-x}{1+x}<0$ pour , donc est décroissante et alors, pour tout , , soit $\ln(1+x)<x$ .

$g'(x)=\dfrac1{1+x}-(1-x)=\dfrac{x^2}{1+x}>0$ et donc est croissante et pour tout , soit aussi, pour , $\ln(1+x)>x+\dfrac{x^2}2$ .
Le produit et la question précédente incitent à utiliser le logarithme et à poser $v_n=\ln u_n$ , soit

$v_n=\sum_{k=1}^n\ln\lp1+\dfrac{k}{n^2}\rp$

D'après la question précédente, on a alors,

$\sum_{k=1}^n\lp\dfrac{k}{n^2}-\dfrac{k^2}{2n^4}\right) <v_n<\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n^2}$

On a de plus,

$\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n^2}=\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2n^2} =\dfrac{n+1}{2n}$

et

$\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2n^4} =\dfrac{1}{2n^4}\sum_{k=1}^nk^2 =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}$

d'où l'encadrement

$\dfrac{n+1}{2n}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}<v_n<\dfrac{n+1}{2n}$

Comme

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac12$

et

$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}\simeq\dfrac1{6n}\to0$

on obtient, d'après le théorème des gendarmes, que

$\lim_{n\to+\infty}v_n=\dfrac12$

et donc que

$\lim_{n\to+\infty}v_n=e^{1/2}=\sqrt{e}$

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