Limite racine n-ième du carré

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

SuitesSuites
LimiteLimites de suites et de fonctions
ÉquivalentsÉquivalents pour le calcul de limites
DLDéveloppements limités

Énoncé du sujet

Étudier la limite de $u_n=\sqrt[n]{n^2}$ .

Correction

Correction

On a

$\begin{array}{ll}\sqrt[n]{n^2}&=\left( n^2\rp^{1/n}\\[.7em] &=\exp\lp\dfrac1n\ln\lp n^2\rp\rp\\[.8em] &=\exp\lp\dfrac2n\ln(n)\rp\enar$

Par croissances comparées, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0$ et donc

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n^2}=\exp(0)=1$

Tags:Suites Limite Équivalents DL

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