Indépendance avec deux dés


On lance deux fois un dé équilibré et on considère les 3 événements:
E: "la somme des deux lancers est égale à 6"
F: "la somme des deux lancers est égale à 7"
G: "le premier lancer est un 4".
Les événements E et G sont-ils indépendants ? les événements F et G ?

Correction
On a
\[E=\Bigl\{( 1 ; 5 ) ; ( 2 ; 4 ) ; ( 3 ; 3 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 5 ; 1 ) \Bigr\}\]

et donc
\[p(E) = \dfrac5{36}\]

De même
\[F=\Bigl\{ ( 1 ; 6 ); ( 2 ; 5 ) ; ( 3 ; 4 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 5 ; 2 ) ; ( 6 ; 1 ) \Bigr\}\]

et donc
\[p(F) = \dfrac6{36}\]

De même
\[G=\Bigl\{ ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 4 ; 4 ) ; ( 4 ; 5 ) ; ( 4 ; 6 ) \Bigr\}\]

et donc
\[p(G) = \dfrac6{36}\]

On a alors
\[E\cap G = \Bigl\{ ( 4 ; 2 ) \Bigr\}\]

d'où
\[p ( E\cap G ) = \dfrac1{36}\not= p ( E) \times p ( G )\]

donc les événements E et G ne sont pas indépendants.

De même
\[F\cap G = \Bigl\{ ( 4 ; 3 ) \Bigr\}\]

et donc
\[p (F \cap G ) = \dfrac1{36} = p ( F ) \times p ( G )\]

ce qui montre que les événements F et G sont indépendants.

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Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance

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