Étude avec fonctions trigonométriques réciproques


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(\arctan(2x+1))$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$, ses limites en $\pm\infty$.
  2. Montrer que la restriction de $f$ à $[-1/2,+\infty[$ admet une fonction réciproque $g$ dont on précisera l'ensemble de définition.
  3. Calculer $f(0)$ puis $g'(\sqrt 2/2)$.

Correction
  1. Le sens de variation de $f$ est donné par le signe de sa dérivée:
    \[f'(x)=\frac{-2}{1+(2x+1)^2}\sin(\arctan(2x+1))\]

    On a $\arctan(2x+1)\in]-\pi/2,\pi/2[$, et par ailleurs $\sin u$ est du signe de $u$ pour $u\in]-\pi/2,\pi/2[$, $f'(x)$ est donc du signe opposé à $\arctan(2x+1)$.
    Mais,
    \[\arctan(2x+1)\geq 0\iff 2x+1\geq 0\iff x\geq -1/2\]

    Ainsi, $f$ est croissante sur $]-\infty,-1/2[$ et décroissante sur $]-1/2,+\infty[$.

    D'autre part, par composition des limites
    \[\begin{array}{ll}\dsp\lim_{x\to +\infty}2x+1=+\infty
  &\Longrightarrow\dsp\lim_{x\to+\infty}\arctan(2x+1)=\pi/2\\[.8em]
  &\Longrightarrow\dsp\lim_{x\to+\infty}\cos(\arctan(2x+1))=0\enar\]


    On trouve le même résultat en $-\infty$:
    \[\lim_{x\to-\infty}\cos(\arctan(2x+1))=\cos\lp-\dfrac\pi2\rp=0\]


  2. D'après la première question, on a $f'(x)<0$ si $x>-1/2$. Ainsi, $f$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1/2,+\infty[$.
    On a de plus $f(-1/2)=\cos(0)=1$ et $\dsp\lim_{+\infty}f=0$.
    $f$ réalise donc une bijection de $[-1/2,+\infty[$ sur $]0,1]$. Elle admet en particulier une fonction réciproque $g$ définie sur $]0,1]$, et à valeurs dans $[-1/2,+\infty[$.
  3. Puisque $f'$ ne s'annule pas sur $]-1/2,+\infty[$, $g$ est de classe $C^1$ sur $]0,1[$.
    En plus, en dérivant la relation, pour tout $x>-1/2$,
    \[g\left( f(x)\rp=x \Longrightarrow f'(x)g'\left( f(x)\rp\]

    d'où,
    \[g'(f(x))=\dfrac1{f'(x)}\]

    Or $\dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac 1{\sqrt 2}=f(0)$. et donc
    \[g'(\sqrt 2/2)=\frac1{f'(0)}=\frac1{-1\times\sin(\pi/4)}=-\sqrt 2\]



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