Espérance de l'inverse d'une loi de Poisson
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires discrètesVariables aléatoires discrètes
Énoncé du sujet
Soit
une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre
.
Calculer l'espérance de la variable aléatoire
.
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson/1.png)
![$\lambda\geq0$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson/2.png)
Calculer l'espérance de la variable aléatoire
![$\dfrac1{1+X}$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson/3.png)
Correction
.
Comme
prend ses valeurs dans
,
prend ses valeurs dans
avec les probabilités
![\[P\left(Y=\frac 1{1+k}\right)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/6.png)
On calcule alors
![\[\begin{array}{lcl}
E(Y)&=&\dsp\sum_{k\geq 0}\frac{1}{1+k}\tm\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\[1.4em]
&=&\dfrac1{\lambda}\dsp\sum_{k\geq 0}\dfrac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\[1.4em]
&=&\dfrac{e^{-\lambda}}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\\[1em]
&=&\dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/7.png)
Correction
Soit la variable aléatoire![$Y=\frac 1{1+X}$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/1.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/2.png)
![$\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/3.png)
![$Y$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/4.png)
![$\left\{\dfrac{1}{1+k};\ k\geq 0\right\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/5.png)
![\[P\left(Y=\frac 1{1+k}\right)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/6.png)
On calcule alors
![\[\begin{array}{lcl}
E(Y)&=&\dsp\sum_{k\geq 0}\frac{1}{1+k}\tm\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\[1.4em]
&=&\dfrac1{\lambda}\dsp\sum_{k\geq 0}\dfrac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\[1.4em]
&=&\dfrac{e^{-\lambda}}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\\[1em]
&=&\dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/InversePoisson_c/7.png)
Tag:Variables aléatoires discrètes
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