Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre
![$y''-4y'+3y=e^{2x}\cos(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9/1.png)
Correction
a pour équation caractéristique
de racines
et
, et donc pour
solutions
,
.
Comme
, on peut chercher une
rechercher une solution particulière de l'équation
et en prendre la partie réelle ensuite.
On recherche une telle solution particulière sous la forme
,
pour laquelle
.
Il suffit donc de choisir
et la solution partiulière
.
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
.
Correction
L'équation homogène associée![$y''-4y'+3y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/1.png)
![$r^2-4r+3=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/2.png)
![$r=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/3.png)
![$r=3$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/4.png)
![$y(x)=Ae^x+Be^{3x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/5.png)
![$(A,B)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/6.png)
Comme
![$e^{2x}\cos x=\Re e\left( e^{(2+i)x}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/7.png)
![$y''-4y'+3y=e^{(2+i)x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/8.png)
On recherche une telle solution particulière sous la forme
![$y(x)=ke^{(2+i)x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/9.png)
![$y''(x)-4y'(x)+3y(x)=\Bigl((2+i)^2-4(2+i)+3\Bigr)ke^{(2+i)x}
=-2ke^{(2+i)x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/10.png)
![$k=-\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/11.png)
![$y(x)=-\dfrac12e^{2x}\cos x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/12.png)
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
![$x\mapsto Ae^x+Be^{3x}-\dfrac12e^{2x}\cos x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex9_c/13.png)
Tag:Équation différentielle
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