Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre sur
l'équation différentielle:
.
![$]0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4/1.png)
![$(x-1)y'+y-\ln(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4/2.png)
Correction
.
L'équation homogène associée est
![\[E_0: (x-1)y'+y=0
\iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac1{x-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/2.png)
et donc, en intégrant,
![\[y=\dfrac{C}{x-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/3.png)
où
est une constante quelconque.
Plus précisément,
sur
et
sur
.
Pour Déterminer une solution particulière de
,
on peut essayer de faire varier la constante:
![\[y'=\dfrac{C'}{x-1}-\dfrac{C}{(x-1)^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/10.png)
et alors
![\[(x-1)y'+y=\ln(x)
\iff C'=\ln(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/11.png)
On peut alors prendre
et donc
est une solution particulière
sur
et sur
.
Les solutions de
sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
![\[y(x)=\la\begin{array}{ll}
\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_1}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]0;1[\\
\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_2}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]1;+\infty[\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/17.png)
pour toutes constantes
et
.
Correction
Soit![$E: (x-1)y'+y-\ln(x)=0\iff (x-1)y'+y=\ln(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/1.png)
L'équation homogène associée est
![\[E_0: (x-1)y'+y=0
\iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac1{x-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/2.png)
et donc, en intégrant,
![\[y=\dfrac{C}{x-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/3.png)
où
![$C$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/4.png)
Plus précisément,
![$y=\dfrac{C_1}{x-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/5.png)
![$]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/6.png)
![$y=\dfrac{C_2}{x-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/7.png)
![$]1;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/8.png)
Pour Déterminer une solution particulière de
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/9.png)
![\[y'=\dfrac{C'}{x-1}-\dfrac{C}{(x-1)^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/10.png)
et alors
![\[(x-1)y'+y=\ln(x)
\iff C'=\ln(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/11.png)
On peut alors prendre
![$C=x\ln(x)-x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/12.png)
![$y=\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/13.png)
![$]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/14.png)
![$]1;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/15.png)
Les solutions de
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/16.png)
![\[y(x)=\la\begin{array}{ll}
\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_1}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]0;1[\\
\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_2}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]1;+\infty[\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/17.png)
pour toutes constantes
![$C_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/18.png)
![$C_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.4_c/19.png)
Tag:Équation différentielle
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