Équation de droite dans le plan complexe

Colle de mathématiques

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Montrer que toute droite du plan a pour équation complexe: $az+\overline{az}=b$ , $a\in\C^*$ , $b\in\R$ .

Correction

Soit $a=m+ip\in\C^*$ , $b\in\R$ , alors $az+\overline{az}=2\Re(z)=2\left( mx-py\rp$ , d'où $az+\overline{az}=b \iff mx-py=\dfrac{b}{2}$ qui est une équation de droite.
Réciproquement, soit la droite d'équation $\alpha x+\beta y=\gamma$ .
D'après ce qui précède, en choisisant $a=\alpha-i\beta$ et $b=2\gamma$ on a $\alpha x+\beta y=\gamma \iff az+\overline{az}=b$ .

Tag:Complexes

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