Ensemble de matrices stable par produit


Pour $a\in\R$, on pose $M(a)=\lp\begin{array}{ccc}1&0&-a\\a&1&-\dfrac{a^2}2\\0&0&1\enar\rp$ et $\mathcal{F}=\Bigl\{ M(a) \text{ avec } a\in\R\Bigr\}$.
  1. Montrer que, pour tous réels $a$ et $b$, $M(a)\times M(b) \in\mathcal{F}$.
  2. Montrer que $I_3\in\mathcal{F}$
  3. Montrer que tous les éléments de $\mathcal{F}$ sont inversibles.

Correction
  1. Le produit matriciel donne
    \[\begin{array}{ll}M(a)\times M(b)
  &=\lp\begin{array}{ccc}1&0&-a-b\\a+b&1&-ab-\dfrac{b^2}2-\dfrac{a^2}2\\0&0&1\enar\rp\\[2.2em]
  &=\lp\begin{array}{ccc}1&0&-(a+b)\\a+b&1&-\dfrac{(a+b)^2}2\\0&0&1\enar\rp\\[2.2em]
  &=M(a+b)\enar\]

    Ce résultat montre bien que $M(a)\times M(b)=M(a+b)\in\mathcal{F}$
  2. $I_3=M(0)\in\mathcal{F}$.
  3. D'après les questions précédentes, on a, pour tout $a$,
    \[M(a)\times M(-a)=M(a-a)=M(0)=I_3\]

    ce qui montre que $M(a)$ est inversible, d'inverse
    \[M(-a)=\left( M(a)\rp^{-1}\]



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Tag:Matrices

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