Développement en série entière d'une fonction
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction
.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
![$x\mapsto\dfrac{e^x}{1-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4/1.png)
Correction
![\[e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/1.png)
et
![\[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/2.png)
La deuxième série ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que pour
, on a
![\[\frac{e^x}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/4.png)
avec
![\[a_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/5.png)
La série converge pour
(règle du produit de Cauchy), et comme
, le rayon de
convergence de la série obtenue est exactement égal à 1 puisque, pour
, la série
diverge grossièrement puisque son terme général ne tend pas vers zéro.
Correction
On réalise le produit de Cauchy des deux séries :![\[e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/1.png)
et
![\[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/2.png)
La deuxième série ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que pour
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/3.png)
![\[\frac{e^x}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/4.png)
avec
![\[a_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/5.png)
La série converge pour
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/6.png)
![$a_n\geq 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/7.png)
![$|x|>1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/8.png)
![$\sum_n a_n x^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/9.png)
Tag:Séries entières
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