Développement en série entière d'une fonction
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction
avec
.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
![$x\mapsto\ln(a+x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3/1.png)
![$a>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3/2.png)
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
Correction
:
![\[\ln(x+a)=\ln\Bigl(a\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\Bigr)=\ln(a)+\ln\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/2.png)
Pour
, soit
, on en déduit
![\[\ln(x+a)=\ln(a)+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{na^n}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/5.png)
Le rayon de convergence de la série entière obtenue est
.
Correction
On factorise par![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/1.png)
![\[\ln(x+a)=\ln\Bigl(a\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\Bigr)=\ln(a)+\ln\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/2.png)
Pour
![$|x/a|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/3.png)
![$|x|<a$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/4.png)
![\[\ln(x+a)=\ln(a)+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{na^n}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/5.png)
Le rayon de convergence de la série entière obtenue est
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE3_c/6.png)
Tag:Séries entières
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