Deux tentatives pour joindre des correspondants


Une secrétaire cherche à joindre $n$ correspondants. Pour chaque appel, indépendamment, elle a une probabilité $p$ de les joindre, avec $p\in]0, 1[$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre dès la première tentative.
  1. Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance.
  2. Soit $Y$ la variable qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre lors d'une seconde tentative (elle contacte $n-X$ personnes).

    Soit $Z$ la variable aléatoire donnée par $Z = X + Y$ . Donner le support de $Z$ .
  3. Calculer $P(Z = 0)$ et $P(Z = 1)$.
  4. Donner la loi de $Z$.

Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019
  1. On répète $n$ fois l'expérience aléatoire "appeler un corresponnant", de manière identique et indépendante, et dont le succès est "le correspondant répond" de probabilité $p$.
    La variable aléatoire $X$, qui est égale au nombre succès, suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Son espérance est $E(X)=np$ et sa variance $V(X)=np(1-p)$.
  2. $Z(\Omega)=[\![0; n ]\!]$, car $Z$ compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre au total, 1er et 2ème appel.

  3. \[\begin{array}{ll}P(Z = 0)&=P\left( X=0\cap Y=0\rp\\
  &=(1-p)^n(1-p)^n\\
  &=(1-p)^{2n}\enar\]


    et
    \[\begin{array}{lcl}P(Z = 1)&=&P\left( X=0\cap Y=1\rp+P\left( X=1\cap Y=0\rp\\
  &=&(1-p)^n\times np(1-p)^{n-1}
  +np(1-p)^{n-1}\times (1-p)^{n-1}\\
  &=&np(1-p)^{2n-2}\left( (1-p)+1\rp\\
  &=&np(1-p)^{2n-2}\left( 2-p\rp\\
  \enar\]

  4. D'après la formule des probabilités totales, et en posant $q=1-p$,
    \[\begin{array}{lcl}
  P(Z=k)&=&\dsp\sum_{i=0}^kP(X=i\cap Y=k-i)\\
  &=&\dsp\sum_{i=0}^kP(X=i)\,P\left( Y=k-i| X=i\rp\\
  &=&\dsp\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}p^iq^{n-i}\binom{n-i}{k-i}p^{k-i}q^{(n-i)-(k-i)}\\
  &=&p^kq^{2n-k}\dsp\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}q^{-i}
  \enar\]


    \[\begin{array}{lcl}\dsp\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}
  &=&\dfrac{n!}{i!(n-i)!}\tm\dfrac{(n-i)!}{(k-i)!(n-k)!}\\
  &=&\dfrac{n!}{i!(k-i)!(n-k)!}\\
  &=&\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\dsp\binom{k}{i}\\
  &=&\dsp\binom{n}{k}\binom{k}{i}\\
  \enar\]

    d'où
    \[\begin{array}{lcl}P(Z=k)
  &=&\dsp\binom{n}{k}p^kq^{2n-k}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\lp\dfrac1q\rp^i
  \enar\]

    soit, avec la formule du biôme de Newton:
    \[\begin{array}{lcl}P(Z=k)
  &=&\dsp\binom{n}{k}p^kq^{2n-k}\lp1+\dfrac1q\rp^k\\
  &=&\dsp\binom{n}{k}\left( q^2\rp^{n-k}\left( p(1+q)\rp^k\\
  \enar\]

    or
    \[p(1+q)=(1-q)(1+q)=1-q^2\]

    d'où
    \[P(Z=k)=\dsp\binom{n}{k}\left( q^2\rp^{n-k}\left(1-q^2\rp^k\]

    ce qui montre que, finalement, la variable aléatoire $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $1-q^2$.


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Tag:Couples de variables aléatoires

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