Dés pipés


On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut 1/2.
  1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
  2. Soit $n\in\mathbb N^*$. On tire un dé au hasard parmi 100 dé. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$. Quelle est la probabilité $p_n$ pour que ce dé soit pipé.

Correction
  1. On note les événements T: "le dé est pipé" et S: "le résultat du lancer est 6". On cherche alors $P_S(T)$.
    On a alors $P(T)=25/100=1/4$ donc $P\lp\overline{T}\rp=1-P(T)=3/4$, et $P_T(S)=1/2$ et bien sûr $P_{\bar T}(S)=1/6$. La formule de Bayes donne alors
    \[\begin{array}{ll}
  P_S(T)&=\dfrac{P(T)P_T(S)}{P_T(S)P(T)+P_{\bar T}(S)P(\bar T)}\\[1.2em]
  &=\dfrac{\dfrac 14\tm\dfrac 12}{\dfrac 12\tm\dfrac 14+\dfrac 16\tm\dfrac34}
  =\dfrac12.
 \enar\]

  2. On note les événements $C_k$:"le k-ième lancer est un 6" et $D=\bigcap_{k=1}^n C_k$. On cherche alors la probabilité conditionnelle $P_D(T)$.
    Par la formule de Bayes et grâce à l'indépendance des événements $C_k$, on a
    \[P_T(D)=(1/2)^n\]

    et
    \[P_{\bar T}(D)=(1/6)^n\]

    On trouve donc:
    \[\begin{array}{ll}
  P_D(T)&=\dfrac{P(T)P_T(D)}{P_T(D)P(T)+P_{\bar T}(D)P(\bar T)}\\[1.em]
  &=\dfrac{\dfrac 14\tm\left(\dfrac 12\right)^n}{\left(\dfrac12\right)^n\tm\dfrac14+\left(\dfrac 16\right)^n\tm \dfrac34}\\[2.5em]
  &=\dfrac {1}{1+3^{-n+1}}.
  \enar\]

    En particulier, $(p_n)$ tend vers 1 lorsque $n$ tend vers l'infini, plus on observe un grand nombre de 6 consécutifs, plus la probabilité que le dé qu'on lance soit pipé est grande...


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Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance

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