Démonstration des inégalités triangulaires
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ComplexesNombres complexs
Énoncé du sujet
Démontrer les inégalités triangulaires.
Correction
.
Soit
et
,
avec
et
.
Alors,
![\[\begin{array}{ll}
|z+z'|^2=|\alpha e^{i\theta}+\alpha'e^{i\theta'}|^2
&=|e^{i\theta}|\,|\alpha+\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}|^2\\
&=\lp\alpha+\alpha'\cos(\theta'-\theta)\rp^2
+\alpha'^2\sin^2(\theta'-\theta)\\
&=\alpha^2+\alpha'^2+2\alpha\alpha'\cos(\theta'-\theta)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/6.png)
car
.
Comme de plus
,
on obtient
,
et donc l'inégalité recherchée car tous les nombres sont positifs.
Les cas d'égalité se déduisent aussi ici, lorsque
, soit lorsque
,
soit lorsque
,
.
L'autre côté de l'inégalité s'obtient à partir de celle-ci appliquée à
et
puis
à
et
.
Correction
On démontre d'abord![$|z+z'|\leqslant |z|+|z'|$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/1.png)
Soit
![$z=\alpha e^{i\theta}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/2.png)
![$z'=\alpha' e^{i\theta'}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/3.png)
![$\alpha\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/4.png)
![$\alpha'\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/5.png)
Alors,
![\[\begin{array}{ll}
|z+z'|^2=|\alpha e^{i\theta}+\alpha'e^{i\theta'}|^2
&=|e^{i\theta}|\,|\alpha+\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}|^2\\
&=\lp\alpha+\alpha'\cos(\theta'-\theta)\rp^2
+\alpha'^2\sin^2(\theta'-\theta)\\
&=\alpha^2+\alpha'^2+2\alpha\alpha'\cos(\theta'-\theta)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/6.png)
car
![$\cos^2+\sin^2=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/7.png)
Comme de plus
![$\cos\leqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/8.png)
![$|z+z'|^2\leqslant|z|^2+|z'|^2+2|z|\,|z'|=\lp|z|+|z'|\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/9.png)
Les cas d'égalité se déduisent aussi ici, lorsque
![$\cos(\theta'-\theta)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/10.png)
![$\theta'\equiv\theta\,[2\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/11.png)
![$z'=\lambda z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/12.png)
![$\lambda\in\R_+$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/13.png)
L'autre côté de l'inégalité s'obtient à partir de celle-ci appliquée à
![$z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/14.png)
![$z'-z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/15.png)
![$z'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/16.png)
![$z-z'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/17.png)
Tag:Complexes
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