Démonstration des inégalités triangulaires
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ComplexesNombres complexs
Énoncé du sujet
Démontrer les inégalités triangulaires.
Correction
.
Soit
et
,
avec
et
.
Alors,
![\[\begin{array}{ll}
|z+z'|^2=|\alpha e^{i\theta}+\alpha'e^{i\theta'}|^2
&=|e^{i\theta}|\,|\alpha+\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}|^2\\
&=\lp\alpha+\alpha'\cos(\theta'-\theta)\rp^2
+\alpha'^2\sin^2(\theta'-\theta)\\
&=\alpha^2+\alpha'^2+2\alpha\alpha'\cos(\theta'-\theta)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/6.png)
car
.
Comme de plus
,
on obtient
,
et donc l'inégalité recherchée car tous les nombres sont positifs.
Les cas d'égalité se déduisent aussi ici, lorsque
, soit lorsque
,
soit lorsque
,
.
L'autre côté de l'inégalité s'obtient à partir de celle-ci appliquée à
et
puis
à
et
.
Correction
On démontre d'abord
Soit




Alors,
![\[\begin{array}{ll}
|z+z'|^2=|\alpha e^{i\theta}+\alpha'e^{i\theta'}|^2
&=|e^{i\theta}|\,|\alpha+\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}|^2\\
&=\lp\alpha+\alpha'\cos(\theta'-\theta)\rp^2
+\alpha'^2\sin^2(\theta'-\theta)\\
&=\alpha^2+\alpha'^2+2\alpha\alpha'\cos(\theta'-\theta)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/6.png)
car

Comme de plus


Les cas d'égalité se déduisent aussi ici, lorsque

![$\theta'\equiv\theta\,[2\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0_c/11.png)


L'autre côté de l'inégalité s'obtient à partir de celle-ci appliquée à




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