Covariance d'une loi normale et de son carré


On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale centrée réduite, et on définit la variable aléatoire $Y$ par $Y=X^2$.
Calculer la covariance de $X$ et $Y$.
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Correction
On a
\[cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\]

avec $E(X)=0$ puisque $X$ ewt centrée.
De plus,
\[E(XY)=E(X^3)=\int_\R x^3f(x)dx\]

$f$ est la densité de la loi normale centrée réduite. Comme $f$ est paire, on a $x\mapsto x^3f(x)$ impaire, et donc l'intégrale est nulle.
On en déduit que la covariance est nulle.

Attention, on ne peut pas en déduire pour autant que ces variables sont indépendantes.
Au contraire même ces variables semblent plutôt clairement dépendantes, $Y$ étant définie à partir de $X$.

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Tag:Couples de variables aléatoires

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