Covariance d'un couple


Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par
\[P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\dfrac13\]

et $Y$ une variable aléatoire telle que
\[Y=\la\begin{array}{lll}0&\text{si}&X\not=0\\1&\text{si}&X=0\enar\right.\]


Calculer la covariance de $X$ et $Y$.
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Correction
On a
\[cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\]

On a toujours ici le produit $XY=0$, par définition de $Y$.
De plus, on a facilement que $E(Y)=0$ et ainsi le deuxième terme est aussi nul.
Finalement, la covariance de ces variables est nulle.
Attention, cela ne signifie pas que ces variables aléatoires sont indépendantes. Au contraire même ces variables sont clairement dépendantes: $Y$ est définie à partir de $X$.
On le démontre, par exemple avec $P_{(X=1)}(Y=0)=0$ qui est bien différent de $P(Y=0)=\dfrac23$.

Cacher la correction


Tag:Couples de variables aléatoires

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