Covariance d'un couple


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par
\[P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\dfrac13\]

et $Y$ une variable aléatoire telle que
\[Y=\la\begin{array}{lll}0&\text{si}&X\not=0\\1&\text{si}&X=0\enar\right.\]


Calculer la covariance de $X$ et $Y$.
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?


Correction

Correction

On a
\[cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\]

On a toujours ici le produit $XY=0$, par définition de $Y$.
De plus, on a facilement que $E(Y)=0$ et ainsi le deuxième terme est aussi nul.
Finalement, la covariance de ces variables est nulle.
Attention, cela ne signifie pas que ces variables aléatoires sont indépendantes. Au contraire même ces variables sont clairement dépendantes: $Y$ est définie à partir de $X$.
On le démontre, par exemple avec $P_{(X=1)}(Y=0)=0$ qui est bien différent de $P(Y=0)=\dfrac23$.


Tag:Couples de variables aléatoires

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