Couple de variables géométriques


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N^*$, telles que : $P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)=\dfrac{a}{2^{i+j}}$, pour tous $i,j$ de $\N^*$.
  1. Calculer $a$.
  2. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
  3. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?



Correction

Correction

  1. Il faut que $a\geq 0$ et que ensuite:
    \[\sum_{i,j\geq 1}\dfrac{a}{2^{i+j}}=1 \iff \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{a}{2^i}=1 \iff a=1\]

  2. Pour $i\in\N^*$, on a :
    \[\begin{array}{ll} P(X=i)&=\dsp\sum_{j=1}^{+\infty}P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)\\[1.5em] &=\dsp\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{i+j}}\\[1.5em] &=\dfrac{1}{2^i}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2^{i-1}}\enar\]

    $X$ suit donc une loi géométrique de paramètre $1/2$.
    Par symétrie, il en est de même pour $Y$.

  3. \[P(X=i)\times P(Y=j)=\dfrac{1}{2^{i+j}}=P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)\]

    ce qui montre que les variables aléatoires sont indépendantes.


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