Convergence d'une suite définie par un encadrement
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit
une suite telle que, pour tout entier
,
.
Étudier la convergence d'une telle suite.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5/1.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5/2.png)
![$0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2-\dfrac{1}{u_n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5/3.png)
Étudier la convergence d'une telle suite.
Correction
est minorée (par
).
De plus, pour tout
,
et ainsi
est décroissante.
Comme elle est de plus minorée, on en déduit qu'elle converge vers une limite
telle que
.
Ainsi,
vérifie
,
d'où, comme
,
et donc nécessairement
.
est donc une suite décroissante convergeant vers 1.
Correction
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/1.png)
![$0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/2.png)
De plus, pour tout
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/3.png)
![$u_{n+1}-u_n\leqslant 2-\dfrac{1}{u_n}-u_n
=\dfrac{-u_n^2+2u_n-1}{u_n}
=\dfrac{-(u_n-1)^2}{u_n}\leqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/4.png)
et ainsi
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/5.png)
Comme elle est de plus minorée, on en déduit qu'elle converge vers une limite
![$l\geqslant$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/6.png)
![$0<l\leqslant2-\dfrac1l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/7.png)
Ainsi,
![$l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/8.png)
![$l-2+\dfrac1l=\dfrac{(l-1)^2}{l}\leqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/9.png)
![$l>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/10.png)
![$(l-1)^2\leqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/11.png)
![$l=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/12.png)
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex5_c/13.png)
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