Caractérisation d'une similitude


Soit $E=\R^n$ muni du produit scalaire canonique, $f\in\mathcal L(E)$ et $\lambda>0$. On dit que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=\lambda \|x\|$.
  1. Soit $u,v\in E$ tels que $u+v\perp u-v$. Démontrer que $\|u\|=\|v\|$.
  2. Démontrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle =\lambda^2 \langle x,y\rangle.$
  3. On souhaite prouver que $f$ est une similitude si et seulement $f$ est non-nulle et conserve l'orthogonalité: pour tout couple $(x,y)\in E$, si $x\perp y$, alors $f(x)\perp f(y)$.
    1. Prouver le sens direct.
    2. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$. Démontrer que, pour tout couple $(i,j)$, $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$.
    3. Démontrer le sens réciproque.

Correction
  1. On a, en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire,
    \[\begin{array}{ll}\langle u+v,u-v\rangle&=\|u\|^2-
    \langle u,v\rangle
    +\langle v,u\rangle
    -\|v\|^2\\
    &=\|u\|^2-\|v\|^2\enar\]

    et ainsi,
    \[\langle u+v,u-v\rangle=0
    \iff \|u\|^2=\|v\|^2\]

  2. Bien sûr, le sens réciproque est trivial puisqu'il suffit de choisir $x=y$.
    Réciproquement, supposons que pour tout $x\in E$, on a $\|f(x)\|=\lambda\|x\|$. Alors, d'une part
    \[\begin{array}{ll}
    \|f(x+y)\|^2&=\|\lambda(x+y)\|^2\\[.4em]
    &=\lambda^2\|x+y\|^2\\[.4em]
    &=\lambda^2\langle x+y,x+y\rangle\\[.4em]
    &=\lambda^2\Bigl( \|x\|^2+2\langle x,y\rangle +\|y\|^2\Bigr)
    \enar\]

    et d'autre part
    \[\begin{array}{ll}\|f(x+y)\|^2&=\langle f(x+y),f(x+y)\rangle\\[.4em]
    &=\|f(x)\|^2+2\langle f(x),f(y)\rangle+\|f(y)\|^2\\[.5em]
    &=\lambda^2\|x\|^2+2\langle f(x),f(y)\rangle+\lambda^2\|y\|^2\end{array}
    \]

    En égalant ces deux dernières relations, on obtient donc
    \[\langle f(x),f(y)\rangle=\lambda^2 \langle x,y\rangle\]


    1. C'est une conséquence directe de la question précédente.
    2. On sait que $e_i+e_j\perp e_i-e_j$. Puisque $f$ préserve l'orthogonalité, $f(e_i)+f(e_j)\perp f(e_i)-f(e_j)$. Et d'après la première question, $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|.$
    3. Soit $\lambda>0$ tel que $\|f(e_i)\|=\lambda \|e_i\|$ ($\lambda$ ne dépend pas de $i$ d'après la question précédente, et est strictement positif sinon $f$ serait nulle). On va démontrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$. Soit $x\in E$ qui s'écrit
      \[x=\sum_{i=1}^n x_i e_i\]

      Alors
      \[f(x)=\sum_{i=1}^n x_if(e_i)\]

      La famille $(f(e_i))$ étant orthogonale, on a
      \[\begin{array}{lcl}
    \|f(x)\|^2&=&\dsp\sum_{i=1}^n |x_i|^2\|f(e_i)\|^2\\
    &=&\lambda^2\dsp\sum_{i=1}^n |x_i|^2\\[1.2em]
    &=&\lambda^2\|x\|^2.
    \enar\]

      $f$ est bien une similitude de rapport $\lambda$.


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