Fonctions additives et linéaires
Démonstration de la propriété: toute fonction continue et additive est linéaire
Équivalence addivité / linéarité pour des fonctions continues
On démontre ici le théorème général:
Si f est continue et additive sur R alors f est linéaire, et en particulier il existe une constante réel k telle que, pour tout réel x on a
f (x) = kx
Comme par ailleurs il est clair, pour la réciproque, que les fonctions linéaires sont à la fois continues et additives, on obtient alors que les fonctions linéaires sont exactement toutes les fonctions additives continues.
Démonstration
Rappels et idées générales de la démonstration
On rappelle que f additive sur R signifie que, pour tous réels x et y on af (x + y) = f (x) + f (y)
On rappelle aussi que f linéaire signifie que, pour tous réels λ et x on a
f (λx) = λ f (x)
ou encore, puisque les réels x et y jouent des rôles symétriques
f (λx) = x f (λ)
Si on arrive à cette propriété la conséquence annoncée dans le théorème est immédiate: on aura alors, pour λ = 1,
f (x) = x f (1) = kx
en posant la constante k = f (1).
Pour arriver à la linéarité, on procède, de manière assez classique, de la manière suivante. On montre la linéarité pour des nombres entiers naturels puis relatifs en passant d'additions aux multiplications. Ensuite on passe de la linéarité pour les multiplications à la linéarité pour, aussi, les divisions, c'est-à-dire à la linéarité pour les nombres rationnels.
Enfin on accède à la linéarité pour tous les nombres réels par densité des nombres rationnels dans l'ensemble des nombres réels, et passage à la limite, qui est rendu possible ici car on suppose que la fonction f est continue sur R (hypothèse donc essentielle).
C'est parti. Supposons f continue et additive.
Linéarité pour des entiers naturels
On a pour tout réel x, par défintion def (x + x) = f (x) + f (x) = 2 f (x)
puis, par récurrence, si on suppose que pour un entier naturel n on a
f (nx) = n f (x) alors, au rang suivant on a, en utilisant l'additivité puis l'hypothèse de récurrence
f ((n+1)x)
= f (nx + x)
= f (nx) + f (x)
= n f (x) + f (x)
= (n+1) f (x)
et on a ainsi démontré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n et tout réel x on a la linéarité
f (nx) = n f (x)
Linéarité pour des entiers relatifs
On étend ensuite cette propriété de linéarité aux entiers négatifs. En effet, on af ( x+ (−x) ) = f (0) = 0
et par ailleurs, par additivité
f ( x+ (−x) ) =
f (x) + f (−x)
On a donc obtenu que
f (x) + f (−x) = 0 ⇔ f (−x) = −f (x)
On étend alors facilement la linéarité à tous les entiers négatifs, donc relatifs: pour un entier naturel n, en utilisant la linéarité démontrée au paragraphe précédent,
f (−x) = −f (nx) = −n f (x)
et donc maintenant il est claire que pour tout enier relatif n, on a
f (nx) = n f (x)
Linéarité pour des nombres rationnels
On commence par l'inverse d'un entier: pour tout réel xf n 1nx
= f (x)
et par ailleurs, d'après la linéarité pour les entiers démontrée précédemment
f n 1nx
= n f 1nx
On obtient donc
n f 1nx = f (x)
⇔
f 1n = 1nf (x)
On atteint enfin la linéarité pour tous les nombres rationnels par
f nmx =
f n 1mx
= n f 1mx
et donc, d'après la linéarité pour l'inverse démontreé juste avant:
f nmx =
nm f (x)
ce qui finit de prouver la linéarité pour tous les nombres rationnels: pour tout nombre rationnel q on a donc
f (qx) = q f (x)
Linéarité pour les nombres réels
Comme annoncé, on passe des nombres rationnels aux nombres réels par densité de l'ensemble des nombres rationnels dans l'ensemble des nombres réels.Plus précisément, soit λ un nombre réel quelconque. Il existe une suite (qn) de nombres rationnels qui converge vers λ, i.e. une suite de nombres rationnels telle que
limn+∞ qn = λ
On a alors, puisque qn est rationnel et comme on l'a démontré jusque là
f (qnx) = qn f (x)
puis, par passage à la limite, d'une part
limn+∞ qn f (x) = λ f (x)
et d'autre part, par continuité de la fonction f
limn+∞ f (qn x) = f (λx)
on arrive donc finalement à l'égalité de linéarité pour tous réels λ et x
f (λx) = λ f (x)