Coût marginal et optimums technique et économique en économie

Y. Morel

Coûts moyen et marginal

Coût moyen ou coût unitaire

Une entreprise cherche assez naturellement à minimiser ses coûts de production.
Tout aussi généralement, ce n'est pas le coût de chaque unité produite qu'elle cherche à rendre minimal, mais le coût moyen de production, c'est-à-dire le coût global de production par unité produite.
Si le coût de production pour x unités produites est C(x), alors le coût moyen C_M(x) est

C_M(x) = C(x)x

Coût marginal

La notion de coût marginal est centrale et fondamentale en analyse économique.
Le coût marginal de production est la variation du coût de production pour une unité supplémentaire produite.
Si C(x) est le coût de production de x unités, alors le coût marginal C_m(x) est ainsi donné par

C_m(x) = C(x+1) − C(x)

Rechercher à estimer ce coût marginal est assez naturel pour une entreprise puisqu'il revient d'une certaine façon à chercher à estimer l'intérêt, ou non, de produire une unité supplémentaire et donc d'accepter ou non une commande supplémentaire.

Approximation du coût marginal par la dérivée

Le coût marginal C_m(x) est donc C_m(x) = C(x+1) − C(x).
Mathématiquement, les économistes calculent ce coût marginal grâce à la dérivée du coût total C'(x). En effet, on reconnaît dans l'expression du coût marginal

C_m(x) = C(x+1) − C(x) = C(x+1) − C(x)1 = C(x+h) − C(x)h

pour h = 1, qui est l'expression du taux de variation, ou d'accroissement, de la fonction C en x.
Si la fonction C est dérivable (ce qu'on suppose en économie), lorsque h tend vers 0 on obtient C'(x). Si x est grand, par rapport donc à h = 1, l'approximation est tout aussi justifiée.
On considère donc en pratique en économie, et pour la suite, que C_m(x) ≃ C'(x).

Qaulité de l'approximation du cout marginal par la dérivée

Minimisation du coût moyen: optimum technique

Un objectif pour l'entreprise est de minimiser ses coûts de production, c'est-à-dire de produire un nombre d'unités tel que le coût moyen soit le plus faible possible. On parle d'optimum technique.

En représentant sur un même graphique le coût moyen C_M et le coût marginal C' en fonction du nombre d'unités produites, on obtient en général un graphique du type:

Courbes des couts moyen et cout marginal

Il est usuel d'observer ce type de courbe pour les fonctions de coûts moyen et marginal. En effet, ces coûts diminuent tout d'abord lorsqu'augmente la production car les coûts fixes se rentabilisent. Ensuite, au delà d'un certain seuil, la production devient de plus en plus coûteuse (complexité de la production, diversification des sites de production, sous-traitance, heures supplémentaires, …).

Il paraît donc judicieux pour une entreprise de pouvoir localiser justement ce seuil !

Propriété

Le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal:

C_M(x₀) minimal ⇔ C_M(x₀) = C'(x₀)

En d'autres termes, le coût moyen est minimal à l'intersection des courbes du coût moyen et du coût marginal.

Démonstration

Raisonnement économique: si le coût marginal est inférieur au coût moyen, cela signifie qu'il est avantageux de produire une unité supplémentaire (qui coûte donc moins que la moyenne des autres produites).
Par ailleurs, lorsque le coût marginal devient supérieur au coût moyen, chaque unité supplémentaire produite coûte alors plus que celles précédentes, et le coût moyen global augmente alors.

La production optimal se situe donc à l'intersection des deux courbes.
Démonstration mathématique:
Le coût moyen est C_M(x) = C(x)x
Si le coût moyen de production est minimal en x₀, on a alors C'_M(x₀) = 0.
Or, en dérivant le quotient, C'_M(x) = C'(x)x − C(x)x² et donc, pour x₀≠0
C'_M(x₀) = 0 ⇔ C'(x₀)x₀ − C(x₀) = 0 ⇔ C'(x₀) = C(x₀)x₀ = C_M(x₀)
Ainsi, si le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal: le coût moyen minimum se trouve à l'intersection des deux courbes.

Optimisation du bénéfice: optimum économique

En fait, l'objectif de l'entreprise n'est pas de fabriquer à un coût unitaire le plus faible, mais de vendre ses articles produits de manière à obtenir un bénéfice, ou profit, maximum.
On parle alors d'optimum économique.

Soit R(x) le prix de vente de x unités.
Comme pour le coût de fabrication, on parle alors

de prix moyen de vente: R_M(x) = R(x)x
de prix marginal de vente R_m(x) = R(x+1) − R(x): la variation du prix de vente pour une unité vendue supplémentaire.
On fait la même approximation pour le prix de vente que pour le coût de fabrication: R_m(x) ≃ R'(x)

Usuellement les recettes R_M et R_m sont décroissantes: un prix dégressif est pratiqué, par exemple proportionnellement à la quantité d'articles vendus.
On peut compléter le alors graphique précédent.

Courbes: couts marginal, moyen, et recettes marginale et moyenne

On peut alors chercher l'optimum économique:

Propriété

L'optimum économique, c'est-à-dire le nombre x d'unités fabriquées et vendues qui maximise le bénéfice, se situe à l'intersection des courbes du prix de vente marginal R_m et du coût de production marginal C_m.

Démonstration

Le bénéfice réalisé pour x unités fabriquées et vendues est donné par

B(x) = R(x) − C(x)

Le bénéfice atteint un optimum en x₀ lorsque sa dérivée s'annule:

B'(x₀) = 0 ⇔ R'(x₀) = C'(x₀)

c'est-à-dire à l'intersection des courbes de R' et C' ou encore, avec les approximations marginal/dérivée faites, à l'intersection des courbes marginales R_m et C'.

Localisation graphique des optima technique et économique

Exercice

L'exercice ci-dessous est un exercice de mathématiques, de niveau première ou terminale, ES spécifiquement, mais aussi S, STI2D, ou encore STMG.

Exercice

Une société fabrique des articles de sport. Le coût total de production, en euros, de x articles est donné par la fonction:

C(x) = x³ − 90x² + 2700x + 8836

Déterminer les coûts fixes et le coût total induit par une production de 10 articles de sport.
On appelle coût marginal la variation du coût de production pour une unité supplémentaire produite. On le note C_m
Donner l'expression de C_m(x) en fonction de x.
Les économistes considèrent que la dérivée C'(x) du coût de production est une bonne approximation du coût marginal. Calculer C'(x).

On considère dans la suite que le coût marginal est donné par la dérivée: C_m = C'.
Le coût moyen, noté C_M(x), est le coût de production d'un article.
Montrer que la dérivée du coût moyen d'un article est:
C'_M(x) = (x − 47)(2x² + 4x + 188)x²
Étudier les variations de C_M et vérifier que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
On suppose que le revenu total pour x articles produits et vendus est donné par:
R(x) = 3000x − 15x²
1. Déterminer l'expression du revenu moyen R_M(x) pour x articles produits et vendus.
2. Déterminer le revenu marignal R_m(x) = R'(x).
3. Déterminer le nombre d'articles x qu'il faut produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
4. Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonctions C_m, C_M, R_M et R_m et placer en abscisses la valeur qui minimise le coût moyen et celle qui maximise le bénéfice.

Correction:

Les coûts fixes sont les coûts que l'entreprise supporte lorsque la production est nulle, soit C(0) = 8836 euros.
Pour une production de 10 articles, le coût de production est C(10) = 27836 euros.
Pour unités produites, le coût de production est , tandis que pour une unité supplémentaire il est de . Le coût marginal est donc, pour tout ,
est une fonction polynôme donc dérivable sur , donc aussi sur , avec, pour tout , .
Le coût moyen est, pour tout ,

est la somme d'une fonction polynôme, dérivable sur , et d'une fonction inverse, qui est dérivable sur . est donc dérivable sur , donc aussi sur , avec

Or, pour tout , , et on a donc bien, pour tout ,
Le trinôme du degré a pour discriminant et n'admet donc pas de racine réelle.

En , le coût marginal est:
.

On vérifie bien ainsi que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
1. Le revenu moyen est .
2. Le revenu marginal est .
3. Le bénéfice est maximal lorsque , soit lorsque : le revenu marginal est égal au coût marginal de production.
  
  Ce trinôme a pour discriminant et a donc deux racines et .
  Il n'y a donc qu'une seule possibilité pour le bénéfice maximal, qui est atteint en .