Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du Devoir de mathématiques première générale, spécialité mathématiques},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques première générale, spécialité maths},
pdfkeywords={dérivée, dérivation des fonctions, 2nd degré, trinome, polynome, devoir de mathématiques, inéquation, tableau de signe, second degré}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\medskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/premiere-generale-specialite-mathematiques/}{xymaths - 1ère spécialité}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\Large{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\setcounter{nex}{0}
\medskip
\bgex
\bgen
\item Le discriminant de ce trin\^ome du second degré est: $\Delta=(-12)^2-4\tm3\tm12=0$.
Le trin\^ome admet donc une unique racines r\'eelles $x_0=-2$.
On a alors le le tableau de signe
\[
\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$2$&&$+\infty$
\\\hline
$3x^2-12x+12$& &+& \zb&+&\\\hline
\end{tabular}
\]
\item On calcule $P(-1)=3(-1)^3-7(-1)^2-7(-1)+3=0$, ce qui montre que $-1$ est bien une racine de~$P$.
\medskip
On en déduit que $P$ se factorise par
$P(x)=(x-(-1))Q(x)=(x+1)Q(x)$, avec $Q(x)=ax^2+bx+c$, et alors on a:
$P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$, d'o\`u on d\'eduit que
$\la\bgar{l} a=3\\ a+b=-7\\ b+c=-7 \\ c=3\enar\right.$,
soit donc,
$a=3$, $b=-10$ et $c=3$.
Ainsi, $P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$.
\item
Le trin\^ome $3x^2-10x+3$ a pour discriminant
$\Delta=64$ et ses racines sont donc $x_1=\frac{1}{3}$ et $x_2=3$.
\medskip
En utilisant les résultats des deux questions précédentes, on obtient le tableau de signe:
\[
\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-1$& &$\frac{1}{3}$& &$2$& &$3$& &$+\infty$ \\\hline
$x+1$& &-& \zb&+& $|$ &+&$|$&+&$|$&+&\\\hline
$3x^2-10x+3$& &+& $|$&+& \zb &-&$|$&-&\zb&+&\\\hline
$3x^2-12x+12$& &+& $|$&+& $|$ &+&\zb&+&$|$&+& \\\hline
$h(x)$& &-& \zb&+& \zb &-&\db&-&\zb&+& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enen
\enex
\bgex
$f(x)=3x^5-\dfrac52x^2$ donc $f'(x)=3\tm5x^4-\dfrac52\tm2x=15x^4-5x$
$g(x)=x^2\sqrt{x}$. On a $g=uv$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$,
et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$.\\
Donc $g'=u'v+uv'$, soit
$g'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\dfrac1{2\sqrt{x}}$
ou encore, sur le m\^eme dénominateur
$g'(x)=\dfrac{5x^2}{2\sqrt{x}}$.
$h(x)=\dfrac{3}{x+1}=3\tm\dfrac1{x+1}$. On a $h=3\dfrac1u$ avec $u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$.\\
Donc $h'=3\dfrac{-u'}{u^2}$ soit
$h'(x)=3\dfrac{-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-3}{(x+1)^2}$.
$k(x)=\dfrac{x+3}{2x+1}$. On a $k=\dfrac{u}v$ avec
$u(x)=x+3$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$. \\
Donc,
$k'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
$k'(x)=\dfrac{1(2x+1)-(x+3)2}{(2x+1)^2}=\dfrac{-5}{(2x+1)^2}$
\enex
\bgex
\bgen
\item $f'(x)=6x^2-2x-4$ est un trin\^ome du second degré de discriminant $\Delta=100>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ (qui était aussi évidente) et $x_2=-\dfrac23$ et on a donc
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2/3$ && 1 && $+\infty$ \\\hline
$6x^2-2x-4$ &&$+$&\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item La tangente en $a=1$ a pour équation
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$
soit, avec $f'(1)=0$ et $f(1)=-2$, on obtient l'équation de la tangente (horizontale): $y=-2$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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