Intersection de deux paraboles avec un paramètre

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par les expressions $f(x)=2x^2+mx$ et $g(x)=x^2+3x-m$, où $m$ est un nombre réel.
Déterminer les éventuelles valeurs de $m$ pour lesquelles les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, représentatives des fonctions $f$ et $g$, ont un unique point d'intersection.
Donner alors les coordonnées de ce point d'intersection.

Correction
Si $M(x;y)$ est un éventuel point d'intersection, alors $y=f(x)=g(x)$, soit donc l'équation $(E): 2x^2+mx=x^2+3x-m\iff x^2+(m-3)x+m=0$.
Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9$.
On veut que $(E)$ ait une unique solution, donc que $\Delta=0$.
$\Delta$ est expression du second degré de discriminant $\delta=10^2-4\tm9=64=8^2>0$ et admet donc deux racines $m_1=1$ et $m_2=9$.
Pour $m=1$, $(E)$ s'écrit $x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0$. Ainsi $x=1$ et $y=f(1)=g(1)=3$ et $M(1;3)$ est l'unique point d'intersection.
Pour $m=9$, $(E)$ s'écrit $x^2+6x+9=0\iff (x+3)^2=0$. Ainsi $x=-3$ et $y=f(-3)=g(-3)=-9$ et $M(-3;-9)$ est l'unique point d'intersection.

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