Etude de fonction, avec fonction auxiliaire

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

  1. On appelle $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par l'expression $ f(x)=x^3-3x-4$ .
    a. Etudier les variations de $ f$ , et dresser son tableau de variation.

    b. Montrer que l'équation $ f(x)=0$ a une unique solution $ a$ sur $ [2;3]$ .

    Donner un encadrement de $ a$ d'amplitude $ 10^{-2}$ .

    c. Déterminer le signe de $ f(x)$ sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ .

  2. On appelle $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{0\right\}$ par $ g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$ .
    a. Calculer la dérivée $ g'$ de $ g$ et montrer que $ g'(x)=\dfrac{f(x)}{x^3}$ pour tout $ x$ de $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{0\right\}$ .

    b. En déduire les variations de $ g$ .


Correction
  1. On appelle $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par l'expression $ f(x)=x^3-3x-4$ .
    a.
    $ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$ , et donc,

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty... ...-0.3)&& \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\ &&&&&-6&&\\ \hline \end{tabular}$

    b.
    La fonction $ f$ est dérivable sur $ [2;3]$ , strictement croissante, et telle que $ f(2)=-2<0$ et $ f(3)=14>0$ .

    On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiares, que l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution sur $ [2;3]$ .


    De plus, on calcule que $ f(2,19)\simeq -0,07<0$ et $ f(2,20)\simeq 0,05>0$ , d'où $ 2,19<a<2,20$ .

    c.
    On en déduit le signe de $ f(x)$ sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\inf... ... $f(x)$\ &&&$-$&&&&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$&\\ \hline \end{tabular}$

  2. On appelle $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{0\right\}$ par $ g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$ .
    a.
    On a $ g=\dfrac{u}{v}$ , avec $ u(x)=x^3+3x+2$ , $ u'(x)=3x^2+3$ , et $ v(x)=x^2$ , $ v'(x)=2x$ , d'où,

    $\displaystyle g'(x) =\dfrac{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x+2)(2x)}{x^4} =\dfrac{x^4-3x^2-4x}{x^4} =\dfrac{x^3-3x-4}{x^3} =\dfrac{f(x)}{x^3} $

    b.
    On déduit de la question 1.c) le tableau de variation:

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty... ...)&& \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\ &&&&&$g(a)$&&\\ \hline \end{tabular}$



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