Equations et intersections de deux cercles et tangentes

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Le plan est muni d'un repère orthonormé. $ \mathcal{C}$ est le cercle d'équation: $ x^2+y^2-2x+4y+1=0$ .

$ T$ est le point de coordonnées $ (3;4)$ .

  1. a)
    Déterminer les coordonnées du centre $ \Omega$ du cercle $ \mathcal{C}$ et son rayon.
    b)
    Tracer le cercle $ \mathcal{C}$ et placer le point $ T$ sur la figure.
  2. On mène, à partir du point $ T$ , les deux tangentes au cercle $ \mathcal{C}$ et on note $ A_1$ et $ A_2$ les points de contact de ces tangentes avec $ \mathcal{C}$ .
    a)
    Démontrer que $ A_1$ et $ A_2$ appartiennent au cercle $ \mathcal{C}'$ de diamètre $ [\Omega T]$ .
    b)
    Déterminer une équation du cercle $ \mathcal{C}'$ .
    c)
    Calculer les coordonnées des points $ A_1$ et $ A_2$ .

Correction
  1. a)
    $ x^2+y^2-2x+4y+1=0 \iff (x-1)^2+(y+2)^2=4 $ .

    Le cercle $ \mathcal{C}$ a donc pour centre $ \Omega(1;-2)$ et rayon $ R=2$ .

    b)


    \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-5)(0,5) \... ... \pspolygon(3,4)(1,-2)(-0.6,-0.8) \pspolygon(3,4)(1,-2)(3,-2) \end{pspicture}

  2. a)
    La droite $ (TA_1)$ est tangente au cercle $ \mathcal{C}$ , et on a donc, $ (TA_1)\perp (\Omega A_1)$ .

    Ainsi, le triangle $ TA_1\Omega$ est rectangle en $ A_1$ , et $ A_1$ est donc sur le cercle de diamètre l'hypoténuse $ [\Omega T]$ .


    De la même façon, $ A_2$ est sur le cercle de diamètre $ [\Omega T]$ .

    b)
    Le cercle $ \mathcal{C}'$ , de diamètre $ [\Omega T]$ a pour centre le milieu de $ [\Omega T]$ , soit $ \Omega'(2;1)$ .

    Le rayon de ce cercle est $ \dfrac{\Omega T}{2}=\sqrt{10}$ .

    Ainsi, une équation de $ \mathcal{C}'$ est $ (x-2)^2+(y-1)^2=10$ ou encore, $ x^2+y^2-4x-2y-5=0$ .

    c)
    On cherche $ M(x;y)\in \mathcal{C}\cup\mathcal{C}' \iff \left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2-2x+4y+1=0\\ [0.3cm] x^2+y^2-4x-2y-5=0 \end{array}\right. $

    En soustrayant ces deux équations, on obtient: $ 2x+6y+6=0\iff x=-3y-3$ , puis, en substituant dans une des deux équations de cercle (dans celle de $ \mathcal{C}$ par exemple ici):

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll} \left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2-2x+4y+1=... ... 10y^2+28y+16=0 \\ [0.2cm] &\iff 5y^2+14y+8=0 \end{array} \end{displaymath} .

    Cette équation du second degré a pour discriminant $ \Delta=36=6^2$ , et admet donc deux racines: $ y_1=-\dfrac{4}{5}$ et $ y_2=-2$ .

    Les abscisses correspondantes sont: $ x_1=-3y_1-3=-\dfrac{3}{5}$ et $ x_2=-3y_2-3=3$ .

    Les points d'intersections sont donc $ A_1\left(-\dfrac{3}{5};-\dfrac{4}{5}\right)$ et $ A_2(3;-2)$ .



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