Droites perpendiculaires ou parallèles

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère, dans un repère orthonormé du plan, les points $A(2;4)$, $B(4;-3)$, $C(6;3)$, $D(-1;1)$ et $E(2;17)$.
  1. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?
  2. Les droites $(AB)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?

Correction
  1. On a $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\-7\enar\rp$ et $\overrightarrow{CD}\lp\begin{array}{c}-7\\-2\enar\rp$ d'où
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=2\tm(-7)+(-7)\tm(-2)=-14+14=0\]

    ce qui montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux et donc que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  2. On a de plus $\overrightarrow{CE}\lp\begin{array}{c}-4\\14\enar\rp$
    \[\det\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CE}\rp=2\times 14 - (-7)\times(-4)=0\]

    ce qui montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires et donc que les droites $(AB)$ et $(CE)$ sont parallèles.


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